Google
Câu hỏi: Tìm m để phương trình \({x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left({m + 1} \right)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.
Phương pháp giải
- Đặt \({x^2} = y,\) đưa phương trình về bậc hai.
- Tìm điều kiện để phương trình sau có hai nghiệm dương.
- Từ đó suy ra bốn nghiệm phương trình đầu và tìm điều kiện để phương trình đầu có bốn nghiệm tạo thành cấp số cộng.
Lời giải chi tiết
Đặt \({x^2} = y,\) ta có phương trình \({y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left({m + 1} \right)^2} = 0{\rm{ }}\left(1 \right)\)
Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({3m + 5} \right)^2} - 4{\left({m + 1} \right)^2} > 0\\
3m + 5 > 0\\
{\left({m + 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{m^2} + 30m + 25 - 4\left({{m^2} + 2m + 1} \right) > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{m^2} + 22m + 21 > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}; m < - 3\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}\\
m \ne - 1
\end{array} \right.\)
Bốn nghiệm đó là \(- \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} .\)
Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}} - \sqrt {{y_1}} = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1} \left( 2 \right)\)
Theo \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 3m + 5 \left( 3 \right)\\{y_1}{y_2} = {\left({m + 1} \right)^2} \left(4 \right)\end{array} \right.\)
Từ (2) và (3) ta có: \({y_1} + 9{y_1} = 3m + 5\)\(\Leftrightarrow {y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\)
Thay \({y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\) và \({y_2} = \dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}}\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:
\(\dfrac{{3m + 5}}{{10}}.\dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}} = {\left({m + 1} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow {\left( {3m + 5} \right)^2} = \dfrac{{100{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{9}\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 5 = \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\\3m + 5 = - \dfrac{{10\left({m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9m + 15 = 10m + 10\\9m + 15 = - 10m - 10\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - \dfrac{{25}}{{19}}\end{array} \right.\)\(\left( {TM} \right)\)
Vậy \(m = 5\) và \(m = - \dfrac{{25}}{{19}}.\)
- Đặt \({x^2} = y,\) đưa phương trình về bậc hai.
- Tìm điều kiện để phương trình sau có hai nghiệm dương.
- Từ đó suy ra bốn nghiệm phương trình đầu và tìm điều kiện để phương trình đầu có bốn nghiệm tạo thành cấp số cộng.
Lời giải chi tiết
Đặt \({x^2} = y,\) ta có phương trình \({y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left({m + 1} \right)^2} = 0{\rm{ }}\left(1 \right)\)
Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt \({y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left({3m + 5} \right)^2} - 4{\left({m + 1} \right)^2} > 0\\
3m + 5 > 0\\
{\left({m + 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9{m^2} + 30m + 25 - 4\left({{m^2} + 2m + 1} \right) > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{m^2} + 22m + 21 > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}; m < - 3\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}\\
m \ne - 1
\end{array} \right.\)
Bốn nghiệm đó là \(- \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}} .\)
Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là \(\sqrt {{y_2}} - \sqrt {{y_1}} = 2\sqrt {{y_1}} \) hay \({y_2} = 9{y_1} \left( 2 \right)\)
Theo \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 3m + 5 \left( 3 \right)\\{y_1}{y_2} = {\left({m + 1} \right)^2} \left(4 \right)\end{array} \right.\)
Từ (2) và (3) ta có: \({y_1} + 9{y_1} = 3m + 5\)\(\Leftrightarrow {y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\)
Thay \({y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}\) và \({y_2} = \dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}}\) vào \(\left( 4 \right)\) ta được:
\(\dfrac{{3m + 5}}{{10}}.\dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}} = {\left({m + 1} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow {\left( {3m + 5} \right)^2} = \dfrac{{100{{\left({m + 1} \right)}^2}}}{9}\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 5 = \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\\3m + 5 = - \dfrac{{10\left({m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9m + 15 = 10m + 10\\9m + 15 = - 10m - 10\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - \dfrac{{25}}{{19}}\end{array} \right.\)\(\left( {TM} \right)\)
Vậy \(m = 5\) và \(m = - \dfrac{{25}}{{19}}.\)