Google
Câu hỏi: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}}{\rm{ voi }}n \ge 1.\end{array} \right.\)
Phương pháp giải:
Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_2} = \frac{{\left({1 + 1} \right){u_1}}}{{3.1}} = \frac{{2.\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{9}\\
{u_3} = \frac{{\left({2 + 1} \right){u_2}}}{{3.2}} = \frac{{3.\frac{2}{9}}}{6} = \frac{1}{9}\\
{u_4} = \frac{{\left({3 + 1} \right).{u_3}}}{{3.3}} = \frac{{4.\frac{1}{9}}}{9} = \frac{4}{{81}}\\
{u_5} = \frac{{\left({4 + 1} \right).{u_4}}}{{3.4}} = \frac{{5.\frac{4}{{81}}}}{{12}} = \frac{5}{{243}}
\end{array}\)
Năm số hạng đầu là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.\)
Phương pháp giải:
Từ công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Lập tỉ số \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}:\dfrac{{{u_n}}}{n}\)
\(= \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}.\dfrac{n}{{{u_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\dfrac{n}{{n + 1}}.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Theo công thức định nghĩa ta có \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.\dfrac{n}{{n + 1}}= \dfrac{1}{3}\) hay \({v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}.\)
Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = \dfrac{1}{3}, q = \dfrac{1}{3}\) hay \({v_n} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = {\left({\frac{1}{3}} \right)^n}\)
Phương pháp giải:
Tính \(\dfrac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\dfrac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\dfrac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}}\) tìm công thức của \({v_n}\), từ đó suy ra \({u_n}\) .
Lời giải chi tiết:
Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là CSN có \({v_1} = \dfrac{1}{3}, q = \dfrac{1}{3}\) nên \({v_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.\)
Suy ra \({u_n} = n{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\).
Vậy \({u_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}.\)
Câu a
Viết năm số hạng đầu của dãy sốPhương pháp giải:
Thay các giá trị của \(n\) từ \(1\) đến \(5\) để tìm \(5\) số hạng đầu.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_2} = \frac{{\left({1 + 1} \right){u_1}}}{{3.1}} = \frac{{2.\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{9}\\
{u_3} = \frac{{\left({2 + 1} \right){u_2}}}{{3.2}} = \frac{{3.\frac{2}{9}}}{6} = \frac{1}{9}\\
{u_4} = \frac{{\left({3 + 1} \right).{u_3}}}{{3.3}} = \frac{{4.\frac{1}{9}}}{9} = \frac{4}{{81}}\\
{u_5} = \frac{{\left({4 + 1} \right).{u_4}}}{{3.4}} = \frac{{5.\frac{4}{{81}}}}{{12}} = \frac{5}{{243}}
\end{array}\)
Năm số hạng đầu là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.\)
Câu b
Lập dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}.\) Chứng minh dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân.Phương pháp giải:
Từ công thức của \(\left( {{u_n}} \right)\) suy ra công thức của \(\left( {{v_n}} \right)\) và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Lập tỉ số \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}:\dfrac{{{u_n}}}{n}\)
\(= \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}.\dfrac{n}{{{u_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\dfrac{n}{{n + 1}}.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Theo công thức định nghĩa ta có \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.\dfrac{n}{{n + 1}}= \dfrac{1}{3}\) hay \({v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}.\)
Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = \dfrac{1}{3}, q = \dfrac{1}{3}\) hay \({v_n} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = {\left({\frac{1}{3}} \right)^n}\)
Câu c
Tìm công thức tính \({u_n}\) theo \(n\)Phương pháp giải:
Tính \(\dfrac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\dfrac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\dfrac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}}\) tìm công thức của \({v_n}\), từ đó suy ra \({u_n}\) .
Lời giải chi tiết:
Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là CSN có \({v_1} = \dfrac{1}{3}, q = \dfrac{1}{3}\) nên \({v_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.\)
Suy ra \({u_n} = n{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\).
Vậy \({u_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}.\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!