Bài 3.13 trang 66 SBT đại số 10

Câu hỏi: Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:

Câu a​

\(m(m - 6)x + m =  - 8x + {m^2} - 2\);
Phương pháp giải:
\({b_1}\): Đưa phương trình về dạng \({\rm{ax}} + b = 0\)
\({b_2}\): Biện luận:
Nếu a khác 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{b}{a}\) 
Nếu a bằng 0 và b khác 0 thì phương trình vô nghiệm 
Nếu \(a = 0\) và \(b = 0\) thì phương trình có vô sô nghiệm
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\(\Leftrightarrow \left( {{m^2} - 6m} \right)x + 8x = {m^2} - m - 2\)
\(\Leftrightarrow ({m^2} - 6m + 8)x = {m^2} - m - 2\)
\(\Leftrightarrow (m - 2)(m - 4)x = (m + 1)(m - 2)\)
Nếu \(m \ne 2\) và \(m \ne 4\), phương trình \( \Leftrightarrow x = \frac{{\left( {m + 1} \right)\left({m - 2} \right)}}{{\left({m - 2} \right)\left({m - 4} \right)}} = \frac{{m + 1}}{{m - 4}}\)
Nếu m=2 thì PT là 0x=0 (luôn đúng).
Nếu m=4 thì PT là 0x=10 (vô lí).
Kết luận:
Với \(m \ne 2\) và \(m \ne 4\), phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{m + 1}}{{m - 4}}\);
Với m = 2, mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với m = 4, phương trình vô nghiệm.

Câu b​

\(\dfrac{{(m - 2)x + 3}}{{x + 1}} = 2m - 1\);
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình là  \(x + 1 \ne 0\) \(\Leftrightarrow x \ne  - 1\). Ta có.
\(\dfrac{{(m - 2)x + 3}}{{x + 1}} = 2m - 1\)
⟺\((m - 2)x + 3 = (2m - 1)(x + 1)\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left({m - 2} \right)x + 3 = \left({2m - 1} \right)x + 2m - 1\\
\Leftrightarrow \left({2m - 1} \right)x - \left({m - 2} \right)x = 3 + 1 - 2m\\
\Leftrightarrow \left({2m - 1 - m + 2} \right)x = 4 - 2m
\end{array}\)
⇔\((m + 1)x = 4 - 2m\) (1) .
Với  \(m =  - 1\) phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Với \(m \ne  - 1\) phương trình (1) có nghiệm \(x = \dfrac{{4 - 2m}}{{m + 1}}\)
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(x \ne  - 1\) khi và chỉ khi \(\dfrac{{4 - 2m}}{{m + 1}} \ne  - 1\) hay \(- 2m + 4 \ne  - m - 1\)\(\Leftrightarrow m \ne 5\)
Kết luận
Với m = -1 hoặc m = 5 phương trình vô nghiệm
Với \(m \ne  - 1\) và \(m \ne 5\) phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{{4 - 2m}}{{m + 1}}\).

Câu c​

\(\dfrac{{(2m + 1)x - m}}{{x - 1}} = x + m\);
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình là \(x - 1 \ne 0\)\(\Leftrightarrow x \ne 1\). Khi đó ta có
\(\dfrac{{(2m + 1)x - m}}{{x - 1}} = x + m\)
\(\Leftrightarrow (2m + 1)x - m = (x + m)(x - 1)\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left({2m + 1} \right)x - m = {x^2} + \left({m - 1} \right)x - m\\
\Leftrightarrow {x^2} + \left({m - 1} \right)x - \left({2m + 1} \right)x = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + \left({m - 1 - 2m - 1} \right)x = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + \left({ - m - 2} \right)x = 0\\
\Leftrightarrow x\left({x - m - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = m + 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Giá trị \(x = m + 2\) thỏa mãn điều kiện của phương trình khi \(m + 2 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne  - 1\).
Kết luận :
Vậy với \(m =  - 1\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 0\);
Với \(m \ne  - 1\) phương trình có hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = m + 2\).

Câu d​

\(\dfrac{{(3m - 2)x - 5}}{{x - m}} =  - 3\).
Lời giải chi tiết:
Điều kiện của phương trình là \(x - m \ne 0\)\(\Leftrightarrow x \ne m\). Khi đó ta có
\(\dfrac{{(3m - 2)x - 5}}{{x - m}} =  - 3\)
\(\Leftrightarrow (3m - 2)x - 5 =  - 3x + 3m\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left({3m - 2} \right)x + 3x = 3m + 5\\
\Leftrightarrow \left({3m - 2 + 3} \right)x = 3m + 5
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow (3m + 1)x = 3m + 5\).
Với \(m \ne  - \dfrac{1}{3}\) nghiệm của phương trình cuối là \(x = \dfrac{{3m + 5}}{{3m + 1}}\).
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình khi và chỉ khi
\(\dfrac{{3m + 5}}{{3m + 1}} \ne m\)\(\Leftrightarrow 3m + 5 \ne 3{m^2} + m\)
\(\Leftrightarrow 3{m^2} - 2m - 5 \ne 0\)\(\Leftrightarrow m \ne  - 1\) và \(m \ne \dfrac{5}{3}\)
Kết luận:
Với \(m =  - \dfrac{1}{3}\) hoặc \(m =  - 1\) hoặc  \(m = \dfrac{5}{3}\) phương trình vô nghiệm.
Với \(m \ne  - \dfrac{1}{3}\), \(m \ne  - 1\) và \(m \ne \dfrac{5}{3}\) phương trình có một nghiệm \(x = \dfrac{{3m + 5}}{{3m + 1}}\).