Google
Câu hỏi: Tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc cung α và \(\alpha - {{3\pi } \over 2}\)
Phương pháp giải
Sử dụng giá trị lượng giác các góc có mối liên quan đặc biệt.
Lời giải chi tiết
Ta có:
+) \(\cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left({\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\))
\(= \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \left({\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x\))
\(= - \sin \alpha \) (áp dụng công thức \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\))
Do đó \(\cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)= - \sin \alpha\)
+) \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \sin \left({\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\sin \left( { - x} \right) = - \sin x\))
\(= - \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \left[ { - \sin \left({\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right]\) (áp dụng công thức \(\sin \left( {\pi + x} \right) = - \sin x\))
\(= \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \) (áp dụng công thức \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\))
Do đó \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)= \cos \alpha\)
\(\eqalign{& \tan(\alpha - {{3\pi } \over 2}) = \frac{{\sin \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{\cos \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} \cr &= \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }}\cr &= - \cot \alpha (\alpha \ne k\pi; k \in Z) \cr & \cot (\alpha - {{3\pi } \over 2}) = \frac{{\cos \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{\sin \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} \cr &= \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\cr &= - \tan \alpha (\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi; k \in Z) \cr} \)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\tan \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \tan \left({\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\
= - \tan \left({\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \tan \left({\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
= - \cot \alpha \\
\cot \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \cot \left({\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\
= - \cot \left({\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cot \left({\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
= - \tan \alpha
\end{array}\)
Sử dụng giá trị lượng giác các góc có mối liên quan đặc biệt.
Lời giải chi tiết
Ta có:
+) \(\cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left({\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\))
\(= \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cos \left({\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\cos \left( {\pi + x} \right) = - \cos x\))
\(= - \sin \alpha \) (áp dụng công thức \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\))
Do đó \(\cos \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)= - \sin \alpha\)
+) \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \sin \left({\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\sin \left( { - x} \right) = - \sin x\))
\(= - \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \left[ { - \sin \left({\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right]\) (áp dụng công thức \(\sin \left( {\pi + x} \right) = - \sin x\))
\(= \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \) (áp dụng công thức \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\))
Do đó \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)= \cos \alpha\)
\(\eqalign{& \tan(\alpha - {{3\pi } \over 2}) = \frac{{\sin \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{\cos \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} \cr &= \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }}\cr &= - \cot \alpha (\alpha \ne k\pi; k \in Z) \cr & \cot (\alpha - {{3\pi } \over 2}) = \frac{{\cos \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{\sin \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} \cr &= \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\cr &= - \tan \alpha (\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi; k \in Z) \cr} \)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\tan \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \tan \left({\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\
= - \tan \left({\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \tan \left({\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
= - \cot \alpha \\
\cot \left({\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \cot \left({\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\
= - \cot \left({\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cot \left({\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
= - \tan \alpha
\end{array}\)