Bài 2 trang 34 SGK Hình học 11

Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A(-1; 2)\) và đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x + y+ 1= 0\). Tìm ảnh của \(A\) và \(d\)

Câu a​

Qua phép tịnh tiến theo vectơ \( \overrightarrow v = (2; 1)\)
Phương pháp giải:
\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v \).
Ảnh của đường thẳng qua 1 phép tịnh tiến là một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’, d’ lần lượt là ảnh của A và d qua các phép biến hình. Dễ dàng kiểm tra được \(A \in d\)
\({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v  \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} + 1 = 2 \hfill \cr   {y_{A'}} - 2 = 1 \hfill \cr}  \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} = 1 \hfill \cr   {y_{A'}} = 3 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow A'\left( {1; 3} \right)\)
Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({T_{\overrightarrow v }} \)
\(\Rightarrow d'//d\) hoặc d' trùng d
\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(3x + y + c = 0\)
\(A\left( { - 1; 2} \right) \in d; {T_{\overrightarrow v }}\left(A \right) = A'\left({1; 3} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \) \(\Rightarrow 3 + 3 + c = 0 \).
\(\Leftrightarrow c =  - 6 \left( {tm} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(3x + y - 6 = 0\).

Câu b​

Qua phép đối xứng qua trục \(Oy\)
Phương pháp giải:
+) Phép đối xứng trục Oy biến điểm \(A\left( {x; y} \right)\) thành điểm \(A'\left( { - x; y} \right)\).
+) Tìm ảnh của đường thẳng d, ta lấy hai điểm A, B bất kì thuộc đường thẳng d, tìm ảnh A'; B' của hai điểm A, B qua phép đối xứng trục Oy, khi đó ảnh của đường thẳng d chính là đường thẳng A'B'.
Lời giải chi tiết:
\({D_{Oy}}\left( A \right) = A'\left({1; 2} \right)\)
Lấy điểm \(B\left( {0; - 1} \right) \in d \Rightarrow {D_{Oy}}\left(B \right) = B'\left({0; - 1} \right)\).
Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy \(\Rightarrow d' \equiv A'B' \)
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( { - 1; - 3} \right)\) nên A'B' nhận \(\overrightarrow {{n_{A'B'}}}  = \left( {3; - 1} \right)\) làm VTPT.
Mà A'B' đi qua B'(0;-1) nên phương trình đường thẳng d’ là:
\(3\left( {x - 0} \right) - 1\left({y + 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0\)

Câu c​

Qua phép đối xứng qua gốc tọa độ
Phương pháp giải:
+) Phép đối xứng qua gốc tọa độ biến \(A\left( {x; y} \right)\)  thành \(A'\left( { - x;-y} \right)\).
+) Ảnh của đường thẳng qua phép đối xứng là 1 đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Lời giải chi tiết:
\({D_{\left( O \right)}}\left(A \right) = A'\left({1; - 2} \right)\)
Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({D_{\left( O \right)}}\) và O không thuộc d nên \(\Rightarrow d'//d \)
\(\Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(3x + y + c = 0 \left( {c \ne 1} \right)\)
\(A\left( { - 1; 2} \right) \in d; {D_{\left(O \right)}}\left(A \right) = A'\left({1; - 2} \right) \) \(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow 3 - 2 + c = 0 \)
\(\Leftrightarrow c =  - 1 \left( {tm} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(3x + y - 1 = 0\).

Câu d​

Qua phép quay tâm \(O\) góc \(90^{\circ}\)
Phương pháp giải:
Ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O góc \(90^0\) là đường thẳng vuông góc với d.
Lời giải chi tiết:
\({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(A \right) = A'\left({x'; y'} \right) \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = - {y_A} = - 2\\
y' = {x_A} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left({ - 2; - 1} \right)\)
Đường thẳng d’ là ảnh của d qua \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}} \Rightarrow d' \bot d \Rightarrow \) phương trình đường thẳng d’ có dạng: \(x - 3y + c = 0\).
\(A\left( { - 1; 2} \right) \in d;\) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left(A \right) = A'\left({ - 2; - 1} \right) \)
\(\Rightarrow A' \in d' \Rightarrow  - 2 - 3\left( { - 1} \right) + c = 0 .\)
\(\Leftrightarrow c =  - 1\).
Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(x - 3y - 1 = 0\).
Cách khác:
Lấy A(-1; 2) và B(0;-1) thuộc d và Q(O; 90º)​ biến A thành A’(-2; -1) biến B thành B’(1; 0).
Mà A, B thuộc d nên A’, B’ thuộc d’.
Vậy Q(O; 90º)​ biến d thành d’ qua hai điểm A’, B’
Do đó phương trình d’ là phương trình A'B'.
Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {3; 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_{A'B'}}}  = \left( {1; - 3} \right)\) là VTPT của d'.
Mà d' đi qua B'(1; 0) nên có phương trình:
1(x-1)-3(y-0)=0 hay x-3y-1=0.