Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = \dfrac{1}{3}BC\). Hãy tính \(sinC, cosC, tgC, cotgC.\)
Phương pháp giải
- Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau:
\(\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{BC}};\)\(\tan \alpha = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\)
- Ta sử dụng các kiến thức sau:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta = 1\)
\(tg\alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};{\mathop{\rm cotg}\nolimits} \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
\(tg\alpha .\cot g\alpha = 1.\)
Lời giải chi tiết
Do \(AB = \dfrac{1}{3}BC\) nên \(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{1}{3}.\) Từ đó
Vì \({\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1\) nên \(\cos C = \sqrt {1 - {{\sin }^2}C} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \cos C = \sqrt {1 - \dfrac{1}{9}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{ 3} \cr
& tgC = \dfrac{{\sin C}}{{\cos C}} = \dfrac{1}{ {2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\cr
& Do \tan C.cotg C=1\cr
&\Rightarrow \cot gC =\dfrac{1}{\tan C}= \dfrac{4}{ {\sqrt 2 }} = 2\sqrt {2}. \cr} \)
- Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình vẽ) được định nghĩa như sau:
\(\sin \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{AC}}{{BC}};\)\(\tan \alpha = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha = \dfrac{{AC}}{{AB}}.\)
- Ta sử dụng các kiến thức sau:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta = 1\)
\(tg\alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};{\mathop{\rm cotg}\nolimits} \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
\(tg\alpha .\cot g\alpha = 1.\)
Lời giải chi tiết
Do \(AB = \dfrac{1}{3}BC\) nên \(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{1}{3}.\) Từ đó
Vì \({\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1\) nên \(\cos C = \sqrt {1 - {{\sin }^2}C} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \cos C = \sqrt {1 - \dfrac{1}{9}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{ 3} \cr
& tgC = \dfrac{{\sin C}}{{\cos C}} = \dfrac{1}{ {2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\cr
& Do \tan C.cotg C=1\cr
&\Rightarrow \cot gC =\dfrac{1}{\tan C}= \dfrac{4}{ {\sqrt 2 }} = 2\sqrt {2}. \cr} \)