Google
Câu hỏi: Biết \(\sin \alpha = \dfrac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\cot \alpha - \tan \alpha }}{{\cot \alpha + \tan \alpha }}\)
Phương pháp giải
Sử dụng hệ thức \(\sin ^2x+\cos ^2x=1\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(B = \dfrac{{\cot \alpha - \tan \alpha }}{{\cot \alpha + \tan \alpha }}\) \(= \dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}\) \(= \dfrac{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}}}\) \(= \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}\)
\(= {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \).
Mà \(\sin \alpha = \dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \) \(= 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\)
Thay vào \(B\) ta được \(B = \dfrac{5}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{9}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{9}\).
Cách khác:
$\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}-1=\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}-1=\frac{5}{4}$
$B=\frac{\cot \alpha-\tan \alpha}{\cot \alpha+\tan \alpha}=\frac{\cot \alpha-\frac{1}{\cot \alpha}}{\cot \alpha+\frac{1}{\cot \alpha}}$
$=\frac{\cot ^{2} \alpha-1}{\cot ^{2} \alpha+1}=\frac{\frac{5}{4}-1}{\frac{5}{4}+1}=\frac{1}{9}$
Sử dụng hệ thức \(\sin ^2x+\cos ^2x=1\).
Lời giải chi tiết
Ta có: \(B = \dfrac{{\cot \alpha - \tan \alpha }}{{\cot \alpha + \tan \alpha }}\) \(= \dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}\) \(= \dfrac{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}}}\) \(= \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}\)
\(= {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \).
Mà \(\sin \alpha = \dfrac{2}{3}\) \(\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \) \(= 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\)
Thay vào \(B\) ta được \(B = \dfrac{5}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{9}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{9}\).
Cách khác:
$\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}-1=\frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}-1=\frac{5}{4}$
$B=\frac{\cot \alpha-\tan \alpha}{\cot \alpha+\tan \alpha}=\frac{\cot \alpha-\frac{1}{\cot \alpha}}{\cot \alpha+\frac{1}{\cot \alpha}}$
$=\frac{\cot ^{2} \alpha-1}{\cot ^{2} \alpha+1}=\frac{\frac{5}{4}-1}{\frac{5}{4}+1}=\frac{1}{9}$