Bài 2.9 trang 82 SBT hình học 10

Phương pháp giải
Sử dung công thức \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) rút \(\sin \alpha \) theo \(\cos \alpha \) và thay vào biểu thức \(A\) tính giá trị.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\tan \alpha  = \sqrt 2 \)\(\Rightarrow \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \sqrt 2 \) \(\Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt 2 \cos \alpha \)
\(\Rightarrow A = \dfrac{{3\sqrt 2 \cos \alpha  - \cos \alpha }}{{\sqrt 2 \cos \alpha  + \cos \alpha }}\) \(= \dfrac{{\cos \alpha \left( {3\sqrt 2  - 1} \right)}}{{\cos \alpha \left({\sqrt 2  + 1} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 1}}\) \(= \dfrac{{\left( {3\sqrt 2  - 1} \right)\left({\sqrt 2  - 1} \right)}}{{\left({\sqrt 2  + 1} \right)\left({\sqrt 2  - 1} \right)}}\) \(= \dfrac{{6 - 4\sqrt 2  + 1}}{{2 - 1}} = 7 - 4\sqrt 2 \)
Vậy \(A = 7 - 4\sqrt 2 \).
Cách khác:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \\
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\
= \frac{1}{{1 + {{\left({\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{3}
\end{array}\)
Mà \(\tan \alpha  = \sqrt 2  > 0\) nên \(0^0 < \alpha < 90^0\) hay \(\cos\alpha > 0\).
Do đó \(\cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)
\(\Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  \)\(= \sqrt 2 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Vậy
\(\begin{array}{l}
A = \frac{{3\sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\\
= \frac{{3.\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}}\\
= 7 - 4\sqrt 2
\end{array}\)