Google
Câu hỏi: Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4, -1). Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x - 3y = 0 và 2x + 5y +6 = 0. Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó.
Lời giải chi tiết
Giả sử hình bình hành ABCD có:
\(A\left( {4; - 1} \right)\) và \(BC:x - 3y = 0; CD:2x + 5y + 6 = 0\) (do A không nằm trên hai đường thẳng này).
Vì C là giao của BC và CD nên tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 0 \hfill \cr
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {{18} \over {11}} \hfill \cr
y = - {6 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(C\left( { - {{18} \over {11}}; - {6 \over {11}}} \right).\)
+) Đường thẳng AD qua A và song song với BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1; - 3} \right)\) làm VTPT.
AD có phương trình:
\(1.\left( {x - 4} \right) - 3.\left({y + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0.\)
D là giao điểm của AD và CD nên tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 7 \hfill \cr
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{17} \over {11}} \hfill \cr
y = - {{20} \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(D\left( {{{17} \over {11}}; - {{20} \over {11}}} \right).\)
+) Đường thẳng AB qua A và song song với CD nên nhận \(\overrightarrow {{n_{CD}}} = \left( {2; 5} \right)\) làm VTPT.
AB có phương trình là:
\(2.\left( {x - 4} \right) + 5.\left({y + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 2x + 5y - 3 = 0.\)
B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ của B là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
2x + 5y - 3 = 0 \hfill \cr
x - 3y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {9 \over {11}} \hfill \cr
y = {3 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(B\left( {{9 \over {11}};{3 \over {11}}} \right).\)
Giả sử hình bình hành ABCD có:
\(A\left( {4; - 1} \right)\) và \(BC:x - 3y = 0; CD:2x + 5y + 6 = 0\) (do A không nằm trên hai đường thẳng này).
Vì C là giao của BC và CD nên tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 0 \hfill \cr
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - {{18} \over {11}} \hfill \cr
y = - {6 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(C\left( { - {{18} \over {11}}; - {6 \over {11}}} \right).\)
+) Đường thẳng AD qua A và song song với BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1; - 3} \right)\) làm VTPT.
AD có phương trình:
\(1.\left( {x - 4} \right) - 3.\left({y + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0.\)
D là giao điểm của AD và CD nên tọa độ của điểm D là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 7 \hfill \cr
2x + 5y = - 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{17} \over {11}} \hfill \cr
y = - {{20} \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(D\left( {{{17} \over {11}}; - {{20} \over {11}}} \right).\)
+) Đường thẳng AB qua A và song song với CD nên nhận \(\overrightarrow {{n_{CD}}} = \left( {2; 5} \right)\) làm VTPT.
AB có phương trình là:
\(2.\left( {x - 4} \right) + 5.\left({y + 1} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow 2x + 5y - 3 = 0.\)
B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ của B là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
2x + 5y - 3 = 0 \hfill \cr
x - 3y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {9 \over {11}} \hfill \cr
y = {3 \over {11}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(B\left( {{9 \over {11}};{3 \over {11}}} \right).\)