Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

Câu a​

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\Delta \) có VTCP \((1; 0)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {0; 1} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {n'} \left( {1; 0} \right)\)
Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình tổng quát là:
\(1.\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3.\)
Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy Q(3,1)
Cách khác:
Ta có: $\mathrm{H}$ thuộc $\Delta$ nên tọa độ $\mathrm{H}(\mathrm{t} ; 1)$ và $\overrightarrow {PH} \left( {t - 3;3} \right)$
Đường thẳng $\Delta$ có $\mathrm{VTCP} \vec{u}(1 ; 0)$
Do đường thẳng PH vuông góc với $\Delta$ nên ta có:
$\overrightarrow{P H} \cdot \vec{u}=0$ hay $1 .(\mathrm{t}-3)+0.3=0$
$\Leftrightarrow \mathrm{t}=3=>\mathrm{H}(3 ; 1)$
Vây tọa độ H ( 3 ; 1)
Câu b
\(\Delta :{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u_{\Delta}}= \left( {3; - 4} \right)\) . Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_{\Delta '}}= {u_{\Delta}}= \left( {3; - 4} \right)\) nên có phương trình tổng quát là:
\(\eqalign{
& 3.\left({x - 3} \right) - 4.\left({y + 2} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3x - 4y - 17 = 0. \cr} \)
Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
{{x - 1} \over 3} = {y \over { - 4}} \hfill \cr
3x - 4y - 17=0 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{- 4x - 3y + 4 = 0 \hfill \cr 3x - 4y - 17 = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{67} \over {25}} \hfill \cr
y = - {{56} \over {25}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(Q\left( {{{67} \over {25}}; - {{56} \over {25}}} \right).\)
Cách khác:
* Đường thẳng $\Delta$ đi qua $\mathrm{A}(1 ; 0)$ và có VTCP $\vec{u}(3 ;-4)$.
Do đó, phương trình tham số của $\Delta$ là:
$\left\{\begin{array}{l}x=1+3 t \\ y=-4 t\end{array}\right.$
* Điểm $\mathrm{H}$ thuộc $\Delta$ nên $\mathrm{H}(1+3 \mathrm{t} ;-4 \mathrm{t})$ và $\overrightarrow {PH} \left( {3t - 2;2 - 4t} \right)$
* Do đường thẳng PH vuông góc với $\Delta$ nên ta có:
$\overrightarrow{P H}. \vec{u}=0$ hay $3 \cdot(3 \mathrm{t}-2)-4 \cdot(2-4 \mathrm{t})=0$
$\Leftrightarrow 9 t-6-8+16 t=0 \Leftrightarrow t=\frac{14}{25} \Rightarrow H\left(\frac{67}{25} ; \frac{-56}{25}\right)$
Vậy tọa độ hình chiếu $H\left(\frac{67}{25} ; \frac{-56}{25}\right)$

Câu c​

\(\Delta :5x - 12y + 10 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
\(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n_{\Delta}} \left( {5; - 12} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta '\) vuông góc với \(\Delta \) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u_{\Delta '}} =\overrightarrow {n_{\Delta}}= \left( {5; - 12} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta '\) qua P và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình chính tắc là:
\({{x - 3} \over 5} = {{y + 2} \over { - 12}} \Leftrightarrow - 12x - 5y + 26 = 0\)
Gọi Q là hình chiếu của P trên \(\Delta \) do đó Q là giao điểm của \(\Delta \) và \(\Delta '\) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
5x - 12x + 10 = 0 \hfill \cr
- 12x - 5y + 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{262} \over {169}} \hfill \cr
y = {{250} \over {169}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(Q\left( {{{262} \over {169}};{{250} \over {169}}} \right).\)