Bài 11 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của chúng

Câu a​

\(\left\{ \matrix{
x = 4 - 2t \hfill \cr
y = 5 - t \hfill \cr} \right.\)
và
\(\left\{ \matrix{
x = 8 + 6{t'} \hfill \cr
y = 4 - 3{t'} \hfill \cr} \right.;\)
Lời giải chi tiết:
a)* Đường thẳng: $\left\{\begin{array}{c}x=4-2 t \\ y=5+t\end{array}\right.$ đi qua $\mathrm{A}(4 ; 5)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{1}}(-2 ; 1)$
nên có VTPT $\overrightarrow{n_{1}}(1 ; 2)$ phương trình tổng quát là:
$1(x-4)+2(y-5)=0$ hay $x+2 y-14=0$
* Đường thẳng: $\left\{\begin{array}{l}x=8+6 t^{\prime} \\ y=4-3 t^{\prime}\end{array}\right.$ đi qua $\mathrm{B}(8 ; 4)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{2}}(6 ;-3)$
nên có VTPT $\overrightarrow{n_{2}}(3 ; 6)$ phương trình tổng quát là:
$3(x-8)+6(y-4)=0$ hay $3 x+6 y-48=0$
Ta có: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6} \neq \frac{-14}{-48}$
Do đó, hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

Câu b​

\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = - 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)
và \({{x - 4} \over 2} = {{y + 7} \over 3};\)
Lời giải chi tiết:
+) Xét đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 3 + 2t\end{array} \right.\) đi qua A(5;-3) và nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; 2} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)\)
PTTQ: \(2\left( {x - 5} \right) - 1\left({y + 3} \right) = 0\) hay \(2x - y - 13 = 0\)
+) Xét đường thẳng \(\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{{y + 7}}{3}\) đi qua B(4;-7) và nhận \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; 3} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3; - 2} \right)\)
PTTQ: \(3\left( {x - 4} \right) - 2\left({y + 7} \right) = 0\) hay \(3x - 2y - 26 = 0\)
Vì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}}\) nên hai đt cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
2x - y - 13 = 0 \hfill \cr
3x - 2y - 26 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 13 \hfill \cr} \right.\)
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại M(0, -13)

Câu c​

\(\left\{ \matrix{
x = 5 + t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr} \right.\)
và \(x + y - 4 = 0\)
Lời giải chi tiết:
Xét đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\) đi qua A(5;-1) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTCP nên có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1; 1} \right)\)
PTTQ: \(1\left( {x - 5} \right) + 1\left({y + 1} \right) = 0\) hay \(x + y - 4 = 0\)
Vì \(\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 4}}\) nên hai đt trùng nhau.