Google
Câu hỏi: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 2\\x + y = 3\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - z = 2\\x + 2y + z = 5\\ - x + y = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
e) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 7z = 2\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
f) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\5x - y - 2z = 3\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 2\\x + y = 3\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - z = 2\\x + 2y + z = 5\\ - x + y = 2\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\2x - y + 2z = 6\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
e) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 7z = 2\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
f) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\5x - y - 2z = 3\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Phương pháp giải
Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:
+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0
+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ
+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.
Lời giải chi tiết
a) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y - z = 2\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -1 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 2y + z = - 1\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 5y = - 5\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 3 - z = - 4\) hay \(z = 1\)
Cuối cùng ta có: \(x + 1 = 3\) hay \(x = 2\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {2;1;1} \right).\)
b) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\x + 2y + z = 5\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\2y - z = 8\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\5y = 15\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 3\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \(9 + z = 7\) hay \(z = - 2\)
Cuối cùng ta có: \( - x + 3 = 2\) hay \(x = 1\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {1;3; - 2} \right).\)
c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương dạng hình thang
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{18 - 5y}}{4}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(x - 3y - \frac{{18 - 5y}}{4} = - 6 \Leftrightarrow x = \frac{{12y + 18 - 5y}}{4} - 6 = \frac{{7y - 6}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{7y - 6}}{4};y;\frac{{18 - 5y}}{4}} \right\}\)
d) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 27\end{array} \right.\)
Từ hai phương trình cuối, suy ra 18 = 27, điều này vô lí.
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm
e)
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - y + 31z = 23\end{array} \right.\)
Cộngg phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 2y = - 2\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 - 31z = - 25\) hay \(z = \frac{{24}}{{31}}\)
Cuối cùng ta có: \(x + 8.\frac{{24}}{{31}} = 9\) hay \(x = \frac{{87}}{{31}}\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {\frac{{87}}{{31}};1;\frac{{24}}{{31}}} \right).\)
f) Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -7 rồi cộng với 2 lần phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\13y + 16z = 16\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{16 - 13y}}{{16}}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được
\(2x - 3y - 4.\frac{{16 - 13y}}{{16}} = - 2 \Leftrightarrow 2x = 3y + \frac{{16 - 13y}}{4} - 2 = \frac{{8 - y}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{8 - y}}{4};y;\frac{{16 - 13y}}{{16}}} \right\}\)
Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:
+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0
+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ
+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.
Lời giải chi tiết
a) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\2x - y - z = 2\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\x - y + z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -1 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 2y + z = - 1\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - 3y - z = - 4\\ - 5y = - 5\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 3 - z = - 4\) hay \(z = 1\)
Cuối cùng ta có: \(x + 1 = 3\) hay \(x = 2\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {2;1;1} \right).\)
b) Đổi chỗ phương trình thứ nhất và phương trình thứ ba ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\x + 2y + z = 5\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\3x - y - z = 2\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\2y - z = 8\end{array} \right.\)
Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = 2\\3y + z = 7\\5y = 15\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 3\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \(9 + z = 7\) hay \(z = - 2\)
Cuối cùng ta có: \( - x + 3 = 2\) hay \(x = 1\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {1;3; - 2} \right).\)
c) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = - 6\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương dạng hình thang
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{18 - 5y}}{4}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được \(x - 3y - \frac{{18 - 5y}}{4} = - 6 \Leftrightarrow x = \frac{{12y + 18 - 5y}}{4} - 6 = \frac{{7y - 6}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{7y - 6}}{4};y;\frac{{18 - 5y}}{4}} \right\}\)
d) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\4x - 7y = 3\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - z = - 6\\5y + 4z = 18\\5y + 4z = 27\end{array} \right.\)
Từ hai phương trình cuối, suy ra 18 = 27, điều này vô lí.
Vậy hệ ban đầu vô nghiệm
e)
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\4x - y + z = 11\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -4 rồi cộng với phương trình thứ hai theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình thứ hai).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 5x - y - 9z = - 22\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi cộng với phương trình thứ ba theo từng vế tương
ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - y + 31z = 23\end{array} \right.\)
Cộngg phương trình thứ hai với phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử z ở phương trình cuối)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 8z = 9\\ - y - 31z = - 25\\ - 2y = - 2\end{array} \right.\)
Từ phương trình thứ ba ta có \(y = 1\).
Thế vào phương trình thứ hai ta được \( - 1 - 31z = - 25\) hay \(z = \frac{{24}}{{31}}\)
Cuối cùng ta có: \(x + 8.\frac{{24}}{{31}} = 9\) hay \(x = \frac{{87}}{{31}}\).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) = \left( {\frac{{87}}{{31}};1;\frac{{24}}{{31}}} \right).\)
f) Cộng phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhận thấy phương trình thứ hai và thứ ba của hệ giống nhau. Như vậy ta được hệ tương đương
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\7x - 4y - 6z = 1\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với -7 rồi cộng với 2 lần phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng ta được hệ phương trình (đã khử x ở phương trình cuối).
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 4z = - 2\\13y + 16z = 16\end{array} \right.\)
Rút z theo y từ phương trình hai của hệ ta được: \(z = \frac{{16 - 13y}}{{16}}\). Thế vào phương trình thứ nhất ta được
\(2x - 3y - 4.\frac{{16 - 13y}}{{16}} = - 2 \Leftrightarrow 2x = 3y + \frac{{16 - 13y}}{4} - 2 = \frac{{8 - y}}{4}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là \(S = \left\{ {\frac{{8 - y}}{4};y;\frac{{16 - 13y}}{{16}}} \right\}\)