Câu hỏi: Trong hệ toạ độ , tìm toạ độ điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng có phương trình
Phương pháp giải
+) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng .
- Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với . Tìm phương trình mặt phẳng (P).
- Khi đó H là giao điểm của và mặt phẳng (P).
+) Điểm M' đối xứng với M qua khi và chỉ khi H là trung điểm của MM', từ đó suy ra tọa độ điểm M'.
Lời giải chi tiết
Gọi là hình chiếu của trên .
Có ,
Vì A' đối xứng với A qua nên H là trung điểm của AA'. Ta có:
Cách khác:
Ta có thể tìm tọa độ điểm như sau:
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng . Khi đó là trung điểm của .
Xét mặt phẳng qua và . Khi đó .
Vì là vectơ chỉ phương của nên là vectơ pháp tuyến của .
Phương trình mặt phẳng có dạng: hay (1)
, thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) ta có:
.
+) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng
- Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với
- Khi đó H là giao điểm của
+) Điểm M' đối xứng với M qua
Lời giải chi tiết
Gọi
Có
Vì A' đối xứng với A qua
Cách khác:
Ta có thể tìm tọa độ điểm
Gọi
Xét mặt phẳng
Vì
Phương trình mặt phẳng