Google
Câu hỏi: Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x - y + 2z +11 = 0\)
Phương pháp giải
Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\).
Lời giải chi tiết
Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; -1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) đi qua M và vuông góc với mp\((α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của \(∆\):\(\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
\(H \in \Delta \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 - t; 2 + 2t} \right)\). Thay các tọa độ điểm H vào phương trình \(mp (α)\), ta có:
\(2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \) \(\Leftrightarrow t = -2\)
Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\).
Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\).
Lời giải chi tiết
Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = (2; -1; 2)\).
Đường thẳng \(∆\) đi qua M và vuông góc với mp\((α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của \(∆\):\(\left\{ \matrix{x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)
\(H \in \Delta \Rightarrow H\left( {1 + 2t; - 1 - t; 2 + 2t} \right)\). Thay các tọa độ điểm H vào phương trình \(mp (α)\), ta có:
\(2(1 + 2t) - (-1 - t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \) \(\Leftrightarrow t = -2\)
Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\).