Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( -2;-2;1 \right),B\left( 1;2;-3 \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A,$ vuông góc với đường thẳng $d$ đồng thời cách điểm $B$ một khoảng bé nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta $ là
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2 \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-2 \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2+t \\
& z=1+4t \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=-2+t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( d \right)\Rightarrow \Delta \subset \left( P \right).$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left( P \right):2\left( x+2 \right)+2\left( y+2 \right)-1\left( z-1 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left( P \right):2x+2y-z+9=0 \\
\end{aligned}$
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right).$ Khi đó $d\left( B,\Delta \right)\ge BH\Rightarrow d{{\left( B,\Delta \right)}_{\min }}=BH$
Suy ra $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A,H$.
Gỉa sử $H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$ mà $H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Rightarrow t=-2$
$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( -1;0;-2 \right)\Rightarrow $ Chọn $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;0;2 \right)\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2 \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2 \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right. $
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-2 \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right. $
C. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2+t \\
& z=1+4t \\
\end{aligned} \right. $
D. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& y=-2+t \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left( P \right):2\left( x+2 \right)+2\left( y+2 \right)-1\left( z-1 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left( P \right):2x+2y-z+9=0 \\
\end{aligned}$
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $\left( P \right).$ Khi đó $d\left( B,\Delta \right)\ge BH\Rightarrow d{{\left( B,\Delta \right)}_{\min }}=BH$
Suy ra $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A,H$.
Gỉa sử $H\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)$ mà $H\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Rightarrow t=-2$
$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( -1;0;-2 \right)\Rightarrow $ Chọn $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;0;2 \right)\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+t \\
& y=-2 \\
& z=1+2t \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án A.