Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( -2 ; -2 ; 1 \right)$, $B\left( 1 ; 2 ; -3 \right)$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-5}{2}=\dfrac{z}{-1}$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với $d$ và khoảng cách từ $B$ đến $\Delta $ ngắn nhất. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $\Delta $ ?
A. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}\left( 1 ; 0 ; 2 \right)$.
B. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 2 ; 2 ; -1 \right)$.
C. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}\left( 2 ; 1 ; 6 \right)$.
D. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 5 ; -2 ; 3 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$, vuông góc với $d$. Suy ra, $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của $d$ : $\overrightarrow{u}\left( 2 ; 2 ; -1 \right)$ $\Rightarrow \left( P \right):2x+2y-z+9=0$.
$\Delta $ là đi qua $A$, vuông góc với $d$, suy ra $\Delta $ thuộc $\left( P \right)$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ trên $\left( P \right)$ và $\Delta $.
Ta có: $d\left( B, \Delta \right)=BK\ge d\left( B, \left( P \right) \right)=BH=const$, đẳng thức xảy ra khi $H\equiv K$.
Vậy khoảng cách từ $B$ đến $\Delta $ ngắn nhất khi $\Delta $ đi qua $A$ và $H$.
Đường thẳng $BH$ đi qua $B\left( 1 ; 2 ; -3 \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left( 2 ; 2 ; -1 \right)$. Suy ra:
$BH:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow H\left( 1+2t ; 2+2t ; -3-t \right)$.
$H\in \left( P \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0$ $\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow H\left( -3 ; -2 ; -1 \right)$.
Vậy đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AH}\left( -1 ; 0 ; -2 \right)$.
A. $\overrightarrow{{{u}_{4}}}\left( 1 ; 0 ; 2 \right)$.
B. $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 2 ; 2 ; -1 \right)$.
C. $\overrightarrow{{{u}_{3}}}\left( 2 ; 1 ; 6 \right)$.
D. $\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 5 ; -2 ; 3 \right)$.
$\Delta $ là đi qua $A$, vuông góc với $d$, suy ra $\Delta $ thuộc $\left( P \right)$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ trên $\left( P \right)$ và $\Delta $.
Ta có: $d\left( B, \Delta \right)=BK\ge d\left( B, \left( P \right) \right)=BH=const$, đẳng thức xảy ra khi $H\equiv K$.
Vậy khoảng cách từ $B$ đến $\Delta $ ngắn nhất khi $\Delta $ đi qua $A$ và $H$.
Đường thẳng $BH$ đi qua $B\left( 1 ; 2 ; -3 \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}\left( 2 ; 2 ; -1 \right)$. Suy ra:
$BH:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow H\left( 1+2t ; 2+2t ; -3-t \right)$.
$H\in \left( P \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0$ $\Leftrightarrow t=-2$ $\Rightarrow H\left( -3 ; -2 ; -1 \right)$.
Vậy đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AH}\left( -1 ; 0 ; -2 \right)$.
Đáp án A.