Google
Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có bán kính là:
(A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) ; (B) \(\sqrt2\) ;
(C) \(\sqrt3\); (D) \({3 \over 4}\) .
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có bán kính là:
(A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) ; (B) \(\sqrt2\) ;
(C) \(\sqrt3\); (D) \({3 \over 4}\) .
Phương pháp giải
Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu tìm các hệ số a, b, c, d.
Suy ra bán kính của mặt cầu: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)
Lời giải chi tiết
Phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
Mặt cầu đi qua \(A, B, C, D\) nên ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
1 - 2a + d = 0 (1) \hfill \cr
1 - 2b + d = 0 (2) \hfill \cr
1 - 2c + d = 0 (3) \hfill \cr
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 (4) \hfill \cr} \right.\)
Lấy \((1)+(2)+(3)-(4)\) ta được: \(d = 0\)
Từ đây ta được: \(a = {1 \over 2}, b = {1 \over 2}, c = {1 \over 2}\)
\({R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
Chọn (A).
Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu tìm các hệ số a, b, c, d.
Suy ra bán kính của mặt cầu: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)
Lời giải chi tiết
Phương trình tổng quát của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
Mặt cầu đi qua \(A, B, C, D\) nên ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
1 - 2a + d = 0 (1) \hfill \cr
1 - 2b + d = 0 (2) \hfill \cr
1 - 2c + d = 0 (3) \hfill \cr
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0 (4) \hfill \cr} \right.\)
Lấy \((1)+(2)+(3)-(4)\) ta được: \(d = 0\)
Từ đây ta được: \(a = {1 \over 2}, b = {1 \over 2}, c = {1 \over 2}\)
\({R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
Chọn (A).