Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm I(2; 4), B(1; 1), C(5; 5). Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết
Ta có : \(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left({1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {10} \)
\(\begin{array}{l}IC = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{(5 - 4)}^2}} = \sqrt {10} \\IB = IC \Rightarrow AB = AC.\end{array}\)
Gọi M là trung điểm của BC, ta có M(3; 3).
Phương trình đường thẳng \(IM:x + y - 6 = 0 (1)\)
Phương trình đường thẳng \(IB:3x - y - 2 = 0 (2)\)
Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng IB.
Đặt N(x; y), ta có tọa độ trung điểm H của MN là \(\left( {\frac{{x + 3}}{2};\frac{{y + 3}}{2}} \right).\)
\(\overrightarrow {MN} = (x - 3; y - 3)\)
\(\overrightarrow {BI} = (1; 3)\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BI} = 0\\H \in IB\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 + 3(y - 3) = 0\\3\left({\frac{{x + 3}}{2}} \right) - \left({\frac{{y + 3}}{2}} \right) - 2 = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 12 = 0\\3x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{19}}{5}.\end{array} \right.\)
Vậy \(N\left( {\frac{3}{5};\frac{{19}}{5}} \right).\)
Ta có B(1; 1). Phương trình đường thẳng \(BN:7x + y - 8 = 0.\)
Điểm A là giao của hai đường thẳng BN và IM nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x + y - 8 = 0\\x + y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{{17}}{3}\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ điểm A là \(\left( {\frac{1}{3};\frac{{17}}{3}} \right).\)
Ta có : \(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left({1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {10} \)
\(\begin{array}{l}IC = \sqrt {{{(5 - 2)}^2} + {{(5 - 4)}^2}} = \sqrt {10} \\IB = IC \Rightarrow AB = AC.\end{array}\)
Gọi M là trung điểm của BC, ta có M(3; 3).
Phương trình đường thẳng \(IM:x + y - 6 = 0 (1)\)
Phương trình đường thẳng \(IB:3x - y - 2 = 0 (2)\)
Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng IB.
Đặt N(x; y), ta có tọa độ trung điểm H của MN là \(\left( {\frac{{x + 3}}{2};\frac{{y + 3}}{2}} \right).\)
\(\overrightarrow {MN} = (x - 3; y - 3)\)
\(\overrightarrow {BI} = (1; 3)\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BI} = 0\\H \in IB\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 + 3(y - 3) = 0\\3\left({\frac{{x + 3}}{2}} \right) - \left({\frac{{y + 3}}{2}} \right) - 2 = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 12 = 0\\3x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{19}}{5}.\end{array} \right.\)
Vậy \(N\left( {\frac{3}{5};\frac{{19}}{5}} \right).\)
Ta có B(1; 1). Phương trình đường thẳng \(BN:7x + y - 8 = 0.\)
Điểm A là giao của hai đường thẳng BN và IM nên tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x + y - 8 = 0\\x + y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{{17}}{3}\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ điểm A là \(\left( {\frac{1}{3};\frac{{17}}{3}} \right).\)