Google
Câu hỏi: Cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\) có \(AC = 8, BD = 6\). Chọn hệ tọa độ \((O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j)\) sao cho \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow {OC} \) cùng hướng, \(\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng.
a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi;
b) Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(BC\) và trọng tâm của tam giác \(ABC\);
c) Tìm tọa độ điểm đối xứng \(I'\) của \(I\) qua tâm \(O\). Chứng minh \(A\), \(I'\), \(D\) thẳng hàng;
d) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \).
a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi;
b) Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(BC\) và trọng tâm của tam giác \(ABC\);
c) Tìm tọa độ điểm đối xứng \(I'\) của \(I\) qua tâm \(O\). Chứng minh \(A\), \(I'\), \(D\) thẳng hàng;
d) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \).
Phương pháp giải
a) Dựng hình và tìm tọa độ các điểm.
b) Áp dụng công thức trung điểm và trọng tâm tam giác.
c) Điểm \(I'\) đối xứng với \(I\) qua \(O\) thì \(O\) là trung điểm của \(II'\).
Ba điểm \(A\), \(I'\), \(D\) thẳng hàng nếu \(\overrightarrow {AD} = k\overrightarrow {AI'} \).
d) Sử dụng công thức tính tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Lời giải chi tiết
A) Do \(AC = 8 \Rightarrow OA = OC = 4\) nên \(A( - 4; 0), C(4; 0)\)
Do \(DB = 6 \Rightarrow OB = OD = 3\) nên \(B(0; 3), D(0; - 3)\)
b) Do \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{0 + 4}}{2} = 2\\{y_I} = \dfrac{{3 + 0}}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) hay \(I\left( {2;\dfrac{3}{2}} \right)\).
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{ - 4 + 0 + 4}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G(0; 1)\).
c) Gọi \(I'\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(O\).
Khi đó \(O\) là trung điểm \(II'\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{2 + {x_{I'}}}}{2}\\0 = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + {y_{I'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = - 2\\{y_{I'}} = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) hay \(I'\left( { - 2; - \dfrac{3}{2}} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AI'} = \left( {2; - \dfrac{3}{2}} \right),\overrightarrow {AD} = (4; - 3)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AI'} \) nên ba điểm \(A, I', D\) thẳng hàng.
d) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {4 - \left( { - 4} \right); 0 - 0} \right) = \left({8; 0} \right)\)
\(\overrightarrow {BD} = \left( {0 - 0; - 3 - 3} \right) = \left({0; - 6} \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = \left( {4 - 0; 0 - 3} \right) = \left({4; - 3} \right)\)
a) Dựng hình và tìm tọa độ các điểm.
b) Áp dụng công thức trung điểm và trọng tâm tam giác.
c) Điểm \(I'\) đối xứng với \(I\) qua \(O\) thì \(O\) là trung điểm của \(II'\).
Ba điểm \(A\), \(I'\), \(D\) thẳng hàng nếu \(\overrightarrow {AD} = k\overrightarrow {AI'} \).
d) Sử dụng công thức tính tọa độ véc tơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Lời giải chi tiết
A) Do \(AC = 8 \Rightarrow OA = OC = 4\) nên \(A( - 4; 0), C(4; 0)\)
Do \(DB = 6 \Rightarrow OB = OD = 3\) nên \(B(0; 3), D(0; - 3)\)
b) Do \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{0 + 4}}{2} = 2\\{y_I} = \dfrac{{3 + 0}}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) hay \(I\left( {2;\dfrac{3}{2}} \right)\).
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{ - 4 + 0 + 4}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G(0; 1)\).
c) Gọi \(I'\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(O\).
Khi đó \(O\) là trung điểm \(II'\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{2 + {x_{I'}}}}{2}\\0 = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + {y_{I'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = - 2\\{y_{I'}} = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) hay \(I'\left( { - 2; - \dfrac{3}{2}} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AI'} = \left( {2; - \dfrac{3}{2}} \right),\overrightarrow {AD} = (4; - 3)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AI'} \) nên ba điểm \(A, I', D\) thẳng hàng.
d) Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {4 - \left( { - 4} \right); 0 - 0} \right) = \left({8; 0} \right)\)
\(\overrightarrow {BD} = \left( {0 - 0; - 3 - 3} \right) = \left({0; - 6} \right)\)
\(\overrightarrow {BC} = \left( {4 - 0; 0 - 3} \right) = \left({4; - 3} \right)\)