Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M, N , P\) là những điểm được xác định như sau:\(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} ,\)\(\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \)
a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm \(O\).
b) Chứng minh hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.
a) Chứng minh \(2\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \) với mọi điểm \(O\).
b) Chứng minh hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.
Phương pháp giải
a) Xen điểm \(M\) vào các véc tơ trong đẳng thức và chứng minh.
b) Chứng minh nếu \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) thì nó cũng là trọng tâm của \(\Delta MNP\).
Cụ thể, chứng minh \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \).
Lời giải chi tiết
A) Ta có: \(3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \)\(= 3(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC}) - (\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB})\)
\(\begin{array}{l}
= 3\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {MB} \\
= \left({3\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} } \right) + \left({3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right)\\
= 2\overrightarrow {OM} + \left({\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MB} } \right)\\
= 2\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 \\
= 2\overrightarrow {OM}
\end{array}\)
b) Gọi \(S, Q\) và \(R\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA\) và \(AB\).
\(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} \); \(\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CQ} \)
\(\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \Rightarrow \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {RB} = \overrightarrow {QS} \)
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \)\(= \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \) \( = \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left({\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {BP} } \right)\)
\(= \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left({\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CQ} + \overrightarrow {QS} } \right)\)\(= \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MNP\).
a) Xen điểm \(M\) vào các véc tơ trong đẳng thức và chứng minh.
b) Chứng minh nếu \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) thì nó cũng là trọng tâm của \(\Delta MNP\).
Cụ thể, chứng minh \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \).
Lời giải chi tiết
A) Ta có: \(3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \)\(= 3(\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC}) - (\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB})\)
\(\begin{array}{l}
= 3\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {MB} \\
= \left({3\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} } \right) + \left({3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right)\\
= 2\overrightarrow {OM} + \left({\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MB} } \right)\\
= 2\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 \\
= 2\overrightarrow {OM}
\end{array}\)
b) Gọi \(S, Q\) và \(R\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA\) và \(AB\).
\(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} \); \(\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CQ} \)
\(\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \Rightarrow \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {RB} = \overrightarrow {QS} \)
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \)\(= \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \) \( = \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left({\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {BP} } \right)\)
\(= \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left({\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CQ} + \overrightarrow {QS} } \right)\)\(= \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MNP\).