Bài 1.15 trang 9 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh:

Câu a​

Điểm có tọa độ (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
Điểm là điểm đối xứng của điểm qua điểm khi và chỉ khi:

tức là

Gọi (C) là đồ thị hàm số .
(C) nhận làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm thuộc (C) (tức là với mọi ) điểm nói trên (tức là cũng thuộc (C); điều này có nghĩa là với mọi là một tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số
Cách chứng minh khác:
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục hệ tọa độ IXY, với (phép biến đổi gốc tọa độ), (h. Vẽ) thì đồ thị của hàm số trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số

Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số cũng như hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng.

Câu b​

Điểm có tọa độ (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
Điểm là điểm đối xứng của qua điểm khi và chỉ khi

tức là

Gọi (C) là đồ thị của hàm số ;
(C) nhận làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm thuộc (C) (tức là ) điểm nói trên (tức là ) cũng thuộc (C); điều này có nghĩa là với mọi
Điều đó đúng do là chu kì của hàm số .
Vậy điểm là một tâm đối xứng của đồ thị (C) của hàm số
Chứng minh cách khác:
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang hệ trục tọa độ IXY, với
Đồ thị của hàm số trong hệ trục toạn độ Oxy là đồ thị của hàm số

Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số cũng như hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.

Câu c​

Đường thẳng có phương trình (k là một số nguyên) là trục đối xứng của đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết:
Điểm là điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng (h. Vẽ) khi và chỉ khi tức là

Gọi (C) là đồ thị của hàm số
(C) nhận đường thẳng làm một trục đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm thuộc C (tức là với mọi ) điểm nói trên cũng thuộc (C).
Điều này có nghĩa là

Rõ ràng ta có đẳng thức đó, do là chu kì của hàm số
Vậy đường thẳng là một trục đối xứng của đồ thị (C) của hàm số

Cách chứng minh khác
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục toạ độ IXY, với thì đồ thị của hàm số trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số trong hệ tọa độ IXY.
Vì hàm số cũng như hàm số là các hàm số chẵn nên đồ thị đó nhận trục IXY (tức là đường thẳng ) làm trục đối xứng.