Google
Câu hỏi: Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) có cạnh đáy \(AB\) bằng \(6cm\), cạnh bên \(AD\) bằng \(4cm\) và hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính độ dài các cạnh \(DC, CB\) và đường chéo \(DB\).
Phương pháp giải
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó ta có các hệ thức sau:
+) \(A{B^2} = BH.BC\)
+) \(A{C^2} = CH.BC\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
Lời giải chi tiết
Hai đường chéo \(AC, BD\) cắt nhau tại \(H\). Trong tam giác vuông \(ABD\), ta có:
\(\dfrac{{HD}}{{HB}} =\dfrac{{HD.BD}}{{HB.BD}} = \dfrac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} \)\(= \dfrac{{{4^2}}}{{{6^2}}} = \dfrac{4}{9}.\)
Ta có \(∆HDC \backsim ∆HBA\) (do \(\widehat {DHC} = \widehat {AHB} = {90^0}; \widehat {ACD} = \widehat {CAB}\) (so le trong)) nên
\(\dfrac{{DC}}{{AB}} = \dfrac{{HD}}{{HB}} = \dfrac{4}{9}\)
Suy ra \(DC =\dfrac{4}{9}.AB= \dfrac{4}{9}.6 = \dfrac{8 }{3}\left( {cm} \right)\)
Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(ADCK\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông) nên \(DC=KA;AD=KC\) (tính chất)
Suy ra \(KB = AB-KA=AB-DC\)\( = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{{10}}{3}.\)
Từ đó theo định lý Pytago cho tam giác vuông \(KBC\) ta có:
\(B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2}\)\( = \dfrac{{100}}{ 9} + 16 = \dfrac{{244}}{9}\) suy ra \(BC = \dfrac{{\sqrt {244} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt {61} }}{3}\left( {cm} \right)\)
Tam giác vuông \(ABD,\) theo định lý Pytago ta có: \(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} \)\(= {6^2} + {4^2} = 52\), từ đó \(DB = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \left( {cm} \right)\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó ta có các hệ thức sau:
+) \(A{B^2} = BH.BC\)
+) \(A{C^2} = CH.BC\)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
Lời giải chi tiết
Hai đường chéo \(AC, BD\) cắt nhau tại \(H\). Trong tam giác vuông \(ABD\), ta có:
\(\dfrac{{HD}}{{HB}} =\dfrac{{HD.BD}}{{HB.BD}} = \dfrac{{A{D^2}}}{{A{B^2}}} \)\(= \dfrac{{{4^2}}}{{{6^2}}} = \dfrac{4}{9}.\)
Ta có \(∆HDC \backsim ∆HBA\) (do \(\widehat {DHC} = \widehat {AHB} = {90^0}; \widehat {ACD} = \widehat {CAB}\) (so le trong)) nên
\(\dfrac{{DC}}{{AB}} = \dfrac{{HD}}{{HB}} = \dfrac{4}{9}\)
Suy ra \(DC =\dfrac{4}{9}.AB= \dfrac{4}{9}.6 = \dfrac{8 }{3}\left( {cm} \right)\)
Kẻ đường cao \(CK\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(ADCK\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông) nên \(DC=KA;AD=KC\) (tính chất)
Suy ra \(KB = AB-KA=AB-DC\)\( = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{{10}}{3}.\)
Từ đó theo định lý Pytago cho tam giác vuông \(KBC\) ta có:
\(B{C^2} = K{B^2} + K{C^2} = K{B^2} + A{D^2}\)\( = \dfrac{{100}}{ 9} + 16 = \dfrac{{244}}{9}\) suy ra \(BC = \dfrac{{\sqrt {244} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt {61} }}{3}\left( {cm} \right)\)
Tam giác vuông \(ABD,\) theo định lý Pytago ta có: \(D{B^2} = A{B^2} + A{D^2} \)\(= {6^2} + {4^2} = 52\), từ đó \(DB = \sqrt {52} = 2\sqrt {13} \left( {cm} \right)\)