Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), đường trung tuyến \(BM\). Gọi \(D\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(BM\) và \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(D\) đến \(AC\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ? Tại sao ?
a) \(∆HCD \backsim ∆ABM\).
b) \(AH = 2HD\).
a) \(∆HCD \backsim ∆ABM\).
b) \(AH = 2HD\).
Phương pháp giải
Chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp góc -góc.
Suy luận để xét tính đúng sai của mỗi câu.
Lời giải chi tiết
a) Xét \(∆HCD\) và \(∆DCM\)
+ Góc \(\widehat C\) chung
+ \(\widehat {MDC} = \widehat {DHC} = 90^\circ \)
Suy ra \(∆HCD \backsim ∆DCM\) (g-g) (1)
Xét \(∆DCM\) và \(∆ABM\)
+ \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) ( hai góc đối đỉnh)
+ \(\widehat {BAM} = \widehat {MDC} = 90^\circ \)
Suy ra \(∆ABM \backsim ∆DCM\) (g-g) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(∆HCD \backsim ∆ABM\). Khẳng định a) đúng.
b) Theo câu a) ta có \(∆HCD \backsim ∆ABM\)
Suy ra \(\dfrac{HC}{AB}=\dfrac{HD}{AM}\) mà \(AB = 2AM\), suy ra \(HC = 2HD\).
Ta có \(HC < MC\) ( \(H\) là chân đường cao hạ từ \(D\) của tam giác \(DCM\) vuông tại \(D)\)
Mà \(HC = 2HD\) nên \(2HD < MC\)
Ta có \(MC = AM\) (do BM là trung tuyến) mà \(AM < AH\) ( do \(M\) nằm giữa \(A\) và \(H)\)
Suy ra \(2HD<AH\)
Vì thế \(2HD\) không thể bằng \(AH\). Khẳng định b) là sai.
Chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp góc -góc.
Suy luận để xét tính đúng sai của mỗi câu.
Lời giải chi tiết
a) Xét \(∆HCD\) và \(∆DCM\)
+ Góc \(\widehat C\) chung
+ \(\widehat {MDC} = \widehat {DHC} = 90^\circ \)
Suy ra \(∆HCD \backsim ∆DCM\) (g-g) (1)
Xét \(∆DCM\) và \(∆ABM\)
+ \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) ( hai góc đối đỉnh)
+ \(\widehat {BAM} = \widehat {MDC} = 90^\circ \)
Suy ra \(∆ABM \backsim ∆DCM\) (g-g) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(∆HCD \backsim ∆ABM\). Khẳng định a) đúng.
b) Theo câu a) ta có \(∆HCD \backsim ∆ABM\)
Suy ra \(\dfrac{HC}{AB}=\dfrac{HD}{AM}\) mà \(AB = 2AM\), suy ra \(HC = 2HD\).
Ta có \(HC < MC\) ( \(H\) là chân đường cao hạ từ \(D\) của tam giác \(DCM\) vuông tại \(D)\)
Mà \(HC = 2HD\) nên \(2HD < MC\)
Ta có \(MC = AM\) (do BM là trung tuyến) mà \(AM < AH\) ( do \(M\) nằm giữa \(A\) và \(H)\)
Suy ra \(2HD<AH\)
Vì thế \(2HD\) không thể bằng \(AH\). Khẳng định b) là sai.