Google
Câu hỏi: Cho tam giác vuông \(ABC\). Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ \(MD, ME, MF\) lần lượt vuông góc với các cạnh \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng:
\(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\)
\(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\)
Phương pháp giải
- Vẽ hình phụ tạo thành các tam giác vuông (với bài toán này ta nối các điểm tạo thành các cạnh \(AM, BM, CM\)).
- Xét các tam giác vuông, sử dụng định lý Pytago tạo thành các đẳng thức phù hợp.
- Tìm mối liên hệ giữa các đẳng thức vừa được tạo thành và đẳng thức cần được chứng minh của bài toán.
Sử dụng: Định lý Pytago: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
Lời giải chi tiết
Nối \(AM, CM, BM\) ta được hình dưới đây:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BDM\), ta có:
\(B{M^2} = B{D^2} + D{M^2}\)\( \Rightarrow B{D^2} = B{M^2} - D{M^2}\) (1)
Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông \(CEM\), ta có:
\(C{M^2} = C{E^2} + E{M^2}\)\( \Rightarrow C{E^2} = C{M^2} - E{M^2}\) (2)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AFM\), ta có:
\(A{M^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2} + F{M^2}\)\( \Rightarrow A{F^2} = A{M^2} - F{M^2}\) (3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:
\(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2}\)
\(= B{M^2} - D{M^2} + C{M^2}\)\( - E{M^2} + A{M^2} - F{M^2}\) (4)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BFM\), ta có:
\(B{M^2} = B{F^2} + F{M^2}\) (5)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(CDM\), ta có:
\(C{M^2} = C{D^2} + D{M^2}\) (6)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AEM\), ta có:
\(A{M^2} = A{E^2} + E{M^2}\) (7)
Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:
\(\eqalign{
& B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} \cr
& = B{F^2} + F{M^2} - D{M^2} + C{D^2} \cr & + D{M^2}- E{M^2} + A{E^2} + E{M^2} - F{M^2} \cr
& = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2} \cr} \)
Vậy \(B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\)
- Vẽ hình phụ tạo thành các tam giác vuông (với bài toán này ta nối các điểm tạo thành các cạnh \(AM, BM, CM\)).
- Xét các tam giác vuông, sử dụng định lý Pytago tạo thành các đẳng thức phù hợp.
- Tìm mối liên hệ giữa các đẳng thức vừa được tạo thành và đẳng thức cần được chứng minh của bài toán.
Sử dụng: Định lý Pytago: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
Lời giải chi tiết
Nối \(AM, CM, BM\) ta được hình dưới đây:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BDM\), ta có:
\(B{M^2} = B{D^2} + D{M^2}\)\( \Rightarrow B{D^2} = B{M^2} - D{M^2}\) (1)
Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông \(CEM\), ta có:
\(C{M^2} = C{E^2} + E{M^2}\)\( \Rightarrow C{E^2} = C{M^2} - E{M^2}\) (2)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AFM\), ta có:
\(A{M^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2} + F{M^2}\)\( \Rightarrow A{F^2} = A{M^2} - F{M^2}\) (3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:
\(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2}\)
\(= B{M^2} - D{M^2} + C{M^2}\)\( - E{M^2} + A{M^2} - F{M^2}\) (4)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BFM\), ta có:
\(B{M^2} = B{F^2} + F{M^2}\) (5)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(CDM\), ta có:
\(C{M^2} = C{D^2} + D{M^2}\) (6)
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(AEM\), ta có:
\(A{M^2} = A{E^2} + E{M^2}\) (7)
Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:
\(\eqalign{
& B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} \cr
& = B{F^2} + F{M^2} - D{M^2} + C{D^2} \cr & + D{M^2}- E{M^2} + A{E^2} + E{M^2} - F{M^2} \cr
& = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2} \cr} \)
Vậy \(B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\)