Câu hỏi: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi ∆ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) kẻ từ A. Với điểm M bất kì thuộc ∆,
a) ∆1 đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên ∆.
b) ∆1 cắt ∆ tại điểm N và BM vuông góc với CN, CM vuông góc với BN. Xác định vị trí điểm M để độ dài MN đạt giá trị bé nhất.
a) ∆1 đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên ∆.
b) ∆1 cắt ∆ tại điểm N và BM vuông góc với CN, CM vuông góc với BN. Xác định vị trí điểm M để độ dài MN đạt giá trị bé nhất.
Lời giải chi tiết
A) Gọi I là trung điểm của BC thì
Từ
Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. Điều này chứng tỏ khi M thay đổi trên
b) Vì ∆1 là đường thăngt HK nên ∆1 cắt ∆ tại điểm N.
Theo câu a), ta có MC vuông góc với (BHK) mà BN thuộc mặt phẳng này, vậy NB vuông góc với MC.
Tương tự như trên, ta cũng có
Từ ∆AHN đồng dạng ∆AMI, ta có
Mặt khác
do đó
Ta có: MN = AM + AN
Vậy MN ngắn nhất khi và chỉ khi
Hệ thức này xác định điểm M để MN có độ dài ngắn nhất.
A) Gọi I là trung điểm của BC thì
Từ
Vậy H là trực tâm của tam giác ABC. Điều này chứng tỏ khi M thay đổi trên
b) Vì ∆1 là đường thăngt HK nên ∆1 cắt ∆ tại điểm N.
Theo câu a), ta có MC vuông góc với (BHK) mà BN thuộc mặt phẳng này, vậy NB vuông góc với MC.
Tương tự như trên, ta cũng có
Từ ∆AHN đồng dạng ∆AMI, ta có
Mặt khác
do đó
Ta có: MN = AM + AN
Vậy MN ngắn nhất khi và chỉ khi
Hệ thức này xác định điểm M để MN có độ dài ngắn nhất.