Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 1, AC = 2.\) Lấy \(M, N, P\) tương ứng thuộc các cạnh \(BC, CA, AB\) sao cho \(2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB.\) Giá trị của tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} \) bằng
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \( - \frac{1}{2}\)
C. \(0\)
D. \(1\)
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \( - \frac{1}{2}\)
C. \(0\)
D. \(1\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{{CM}}{{CM}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(AB\) hay \(MN\)//\(AP\) (1)
Ta có: \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \) \(MP\)//\(AC\) hay \(MP\)//\(AN\) (2)
Ta có: \(AP = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}\) và \(AN = \frac{1}{3}AC = \frac{2}{3}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình bình hành
Mặt khác \(\widehat {PAN} = {90^ \circ }\) và \(AP = AN = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình vuông
\( \Rightarrow \) \(AM \bot PN\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)
Ta có: \(\frac{{CN}}{{CA}} = \frac{{CM}}{{CM}} = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \) \(MN\)//\(AB\) hay \(MN\)//\(AP\) (1)
Ta có: \(\frac{{BP}}{{BA}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \) \(MP\)//\(AC\) hay \(MP\)//\(AN\) (2)
Ta có: \(AP = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.1 = \frac{2}{3}\) và \(AN = \frac{1}{3}AC = \frac{2}{3}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình bình hành
Mặt khác \(\widehat {PAN} = {90^ \circ }\) và \(AP = AN = \frac{2}{3}\)
\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình vuông
\( \Rightarrow \) \(AM \bot PN\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} = 0\)
Đáp án C.