Câu 4.36 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Cho \(z = c{\rm{os}}\varphi {\rm{ + }}i\sin \varphi \left( {\varphi  \in R} \right)\). Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n \ge 1\), ta có
\({z^n} + {1 \over {{z^n}}} = 2\cos n\varphi ,{z^n} - {1 \over {{z^n}}} = 2i\sin n\varphi \)
Giải chi tiết:
\({z^n} = \cos n\varphi  + i\sin n\varphi ,{1 \over {{z^n}}} = \cos n\varphi  - i\sin n\varphi \) nên
\({z^n} + {1 \over {{z^n}}} = 2\cos n\varphi ,{z^n} - {1 \over {{z^n}}} = 2i\sin n\varphi \)
(Đặc biệt \({z} + {1 \over z} = 2\cos \varphi, z - {1 \over z} = 2i\sin \varphi \)).

Câu b​

Từ câu a), chứng minh rằng
\(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\varphi  = {1 \over 8}\left( {{\rm{cos4}}\varphi  + 4\cos 2\varphi  + 3} \right)\)
\({\sin ^5}\varphi  = {1 \over {16}}\left( {\sin 5\varphi  - 5\sin 3\varphi  + 10\sin \varphi } \right)\)
Giải chi tiết:
\(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\varphi  = {\left[ {{1 \over 2}\left( {z + {1 \over z}} \right)} \right]^{ - 4}} \)
\(= {1 \over {{2^4}}}\left[ {{z^4} + {1 \over {{z^4}}} + C_4^1\left( {{z^2} + {1 \over {{z^2}}}} \right) + C_4^2} \right]\)
\(= {1 \over {{2^4}}}\left( {2\cos 4\varphi  + 4.2cos2\varphi  + 6} \right) \)
\(= {1 \over 8}\left( {\cos 4\varphi  + 4cos2\varphi  + 3} \right)\)
\({\sin ^5}\varphi  = {\left[ {{1 \over {2i}}\left( {z - {1 \over z}} \right)} \right]^5}\)
\(= {1 \over {{2^5}i}}\left[ {\left( {{z^5} - {1 \over {{z^5}}}} \right) - C_5^1\left({{z^3} - {1 \over {{z^3}}}} \right) + C_5^2\left({z - {1 \over z}} \right)} \right]\)
\(= {1 \over {{2^5}}}\left( {2\sin 5\varphi  - 2C_5^1\sin 3\varphi  + 2C_5^2\sin \varphi } \right)\)
\(={1 \over {16}}\left( {\sin 5\varphi  - 5\sin 3\varphi  + 10\sin \varphi } \right)\).