Google
Câu hỏi: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m, đầu trên của lò xo cố định, đầu dưới gắn với vật nhỏ có khối lượng 400 g. Kích thích để con lắc dao động điều hoà theo phương thẳng đứng, chọn gốc thế năng trùng với vị trí cân bằng của vật. Tại thời điểm t (s) con lắc có thế năng 256 mJ, tại thời điểm t + 0,05 (s) con lắc có động năng 288 mJ, cơ năng của con lắc không lớn hơn 1 J. Lấy π2 = 10. Trong một chu kì dao động, thời gian mà lò xo giãn là
A. 1/3 s.
B. 2/15 s.
C. 3/10 s.
D. 4/15 s.
A. 1/3 s.
B. 2/15 s.
C. 3/10 s.
D. 4/15 s.
Chu kì dao động: $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\dfrac{0,4}{100}}=0,4s.$
+ Tại thời điểm t
${{x}_{1}}=A\cos \varphi \Rightarrow {{\text{W}}_{t1}}=\dfrac{kx_{1}^{2}}{2}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\varphi =0,256J\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}.\dfrac{1+c\text{os}2\varphi }{2}=0,256J(*).$
+ Tại thời điểm t + 0,05
${{x}_{2}}=A\cos \left( \varphi +\dfrac{\pi }{4} \right)\Rightarrow {{\text{W}}_{t2}}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-\dfrac{mv_{2}^{2}}{2}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\left( \varphi +\dfrac{\pi }{4} \right).$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}{{\left( c\text{os}\varphi .\text{cos}\dfrac{\pi }{4}-\sin \varphi .\sin \dfrac{\pi }{4} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}.\dfrac{1}{2}{{\left( \cos \varphi -\sin \varphi \right)}^{2}}.$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}.\dfrac{1}{4}{{\left( \cos \varphi -\sin \varphi \right)}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{4}\left( 1-\sin 2\varphi \right)(**).$
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{4}k{{A}^{2}}\left( 1+\sin 2\varphi \right)=0,288 \\
& \dfrac{1}{4}k{{A}^{2}}\left( 1+\cos 2\varphi \right)=0,256 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{1+\sin 2\varphi }{1+\cos 2\varphi }=\dfrac{9}{8}\Rightarrow 8+8\sin 2\varphi =9+9c\text{os}2\varphi \Rightarrow 1+9c\text{os}2\varphi =8\sin 2\varphi . $ $ \Leftrightarrow {{\left( 1+9c\text{os}2\varphi \right)}^{2}}={{8}^{2}}\left( 1-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}2\varphi \right)\Leftrightarrow 145c\text{o}{{\text{s}}^{2}}2\varphi +18c\text{os}2\varphi -63=0.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \text{os}2\varphi =\dfrac{3}{5}\Rightarrow \text{W}=0,32J \\
& c\text{os}2\varphi =-\dfrac{21}{29}\Rightarrow \text{W}=1,856J(loai) \\
\end{aligned} \right..$
+ Với $\text{W}=0,32J=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow A=0,08m.$
+ Độ biến dạng của lò xo ở VTCB: $\Delta {{l}_{0}}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0,4.10}{100}=0,04m.$
+ Thời gian lò xo giãn trong một chu kì được biểu diễn trên đường tròn lượng giác:
Góc quét được: $\alpha =\dfrac{\pi }{6}+\pi +\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{4\pi }{3}\Rightarrow \Delta t=\dfrac{\alpha }{\omega }=\alpha .\dfrac{T}{2\pi }=\dfrac{4\pi }{3}.\dfrac{T}{2\pi }=\dfrac{2T}{3}=\dfrac{4}{15}s.$
${{x}_{1}}=A\cos \varphi \Rightarrow {{\text{W}}_{t1}}=\dfrac{kx_{1}^{2}}{2}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\varphi =0,256J\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}.\dfrac{1+c\text{os}2\varphi }{2}=0,256J(*).$
+ Tại thời điểm t + 0,05
${{x}_{2}}=A\cos \left( \varphi +\dfrac{\pi }{4} \right)\Rightarrow {{\text{W}}_{t2}}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-\dfrac{mv_{2}^{2}}{2}=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\left( \varphi +\dfrac{\pi }{4} \right).$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}{{\left( c\text{os}\varphi .\text{cos}\dfrac{\pi }{4}-\sin \varphi .\sin \dfrac{\pi }{4} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}.\dfrac{1}{2}{{\left( \cos \varphi -\sin \varphi \right)}^{2}}.$
$\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}.\dfrac{1}{4}{{\left( \cos \varphi -\sin \varphi \right)}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{k{{A}^{2}}}{2}-0,288=\dfrac{k{{A}^{2}}}{4}\left( 1-\sin 2\varphi \right)(**).$
Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{4}k{{A}^{2}}\left( 1+\sin 2\varphi \right)=0,288 \\
& \dfrac{1}{4}k{{A}^{2}}\left( 1+\cos 2\varphi \right)=0,256 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{1+\sin 2\varphi }{1+\cos 2\varphi }=\dfrac{9}{8}\Rightarrow 8+8\sin 2\varphi =9+9c\text{os}2\varphi \Rightarrow 1+9c\text{os}2\varphi =8\sin 2\varphi . $ $ \Leftrightarrow {{\left( 1+9c\text{os}2\varphi \right)}^{2}}={{8}^{2}}\left( 1-c\text{o}{{\text{s}}^{2}}2\varphi \right)\Leftrightarrow 145c\text{o}{{\text{s}}^{2}}2\varphi +18c\text{os}2\varphi -63=0.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \text{os}2\varphi =\dfrac{3}{5}\Rightarrow \text{W}=0,32J \\
& c\text{os}2\varphi =-\dfrac{21}{29}\Rightarrow \text{W}=1,856J(loai) \\
\end{aligned} \right..$
+ Độ biến dạng của lò xo ở VTCB: $\Delta {{l}_{0}}=\dfrac{mg}{k}=\dfrac{0,4.10}{100}=0,04m.$
+ Thời gian lò xo giãn trong một chu kì được biểu diễn trên đường tròn lượng giác:
Góc quét được: $\alpha =\dfrac{\pi }{6}+\pi +\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{4\pi }{3}\Rightarrow \Delta t=\dfrac{\alpha }{\omega }=\alpha .\dfrac{T}{2\pi }=\dfrac{4\pi }{3}.\dfrac{T}{2\pi }=\dfrac{2T}{3}=\dfrac{4}{15}s.$
Đáp án D.
