Trong không gian $O x y z$ cho mặt phẳng $(P): 2 x-y+2 z+3=0$ và...

Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ qua có véctơ pháp tuyến là: $\vec{n}(a ; b ; c)$ với $\left(a^2+b^2+c^2>0\right)$ Vì mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $(P)$ nên $2 a-b+2 c=0 \Leftrightarrow b=2 a+2 c$
Đường thẳng $A B$ có véctơ chỉ phương là $\bar{u}=\dfrac{1}{2} \overline{B A}=(1 ; 1 ;-1)$
Đặt $\varphi$ là góc hợp bởi $A B$ và $(\alpha)$
Ta có: $\sin \varphi=\dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot|\vec{u}|}=\dfrac{|a+b-c|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{|3 a+c|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5 a^2+8 a c+5 c^2}}$
Nếu $c=0$ thì $\sin \varphi=\dfrac{3}{\sqrt{15}}$
Nếu $c \neq 0$ thì $\sin \varphi=\dfrac{\left|3 \dfrac{a}{c}+1\right|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+8} \dfrac{a}{c}+5}$
Đặt $t=\dfrac{a}{c} \in \mathbb{R}$. Xét hàm số $f(t)=\dfrac{3 t+1}{\sqrt{5 t^2+8 t+5}} ; f^{\prime}(t)=\dfrac{7 t+11}{\sqrt{\left(5 t^2+8 t+5\right)^3}}=0 \Leftrightarrow t=-\dfrac{11}{7}$
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên trên ta thấy: $(\sin \varphi)_{\max }=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \max |f(t)|=\dfrac{\sqrt{78}}{9}$
So sánh hai trường hợp ta được $(\sin \varphi)_{\max }=\dfrac{\sqrt{78}}{9}$