Câu 4.31 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là \(\varphi \), hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

Câu a​

\(2{z^2}\)
Giải chi tiết:
\(2\varphi \)

Câu b​

\(- {1 \over {2\bar z}}\)
Giải chi tiết:
\(\varphi  + \pi \)

Câu c​

\({{\bar z} \over z}\)
Giải chi tiết:
\(- 2\varphi \)

Câu d​

\(- {z^2}\bar z\)
Giải chi tiết:
\(\varphi  + \pi \)

Câu e​

\(z + \bar z\)
Giải chi tiết:
\(z + \bar z\) có một acgumen bằng 0 nếu phần thực của z dương, có một acgumen \(\pi \) nếu phần thực của z âm, có acgumen xác định nếu z là số ảo (tức z = i hoặc z = -i)

Câu f​

\({z^2} + z\)
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích trong lượng giác.
Giải chi tiết:
Acgumen của\({z^2} + z\) là \({{3\varphi } \over 2}\) nếu \({\rm{cos}}{\varphi  \over 2} > 0\), là \({{3\varphi } \over 2} + \pi \) nếu \({\rm{cos}}{\varphi  \over 2} < 0\) và không xác định nếu \({\rm{cos}}{\varphi  \over 2} = 0\) (tức là khi z = -1)

Câu g​

\({z^2} - z\)
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích trong lượng giác.
Giải chi tiết:
Acgumen \({z^2} - z\)  là \({{3\varphi  + \pi } \over 2}\) nếu \(\sin {\varphi  \over 2} > 0\),  là \({{3\varphi  - \pi } \over 2}\) nếu \(\sin {\varphi  \over 2} < 0\) và không xác định nếu \({\rm{sin}}{\varphi  \over 2} = 0\) (tức là khi z = -1)

Câu h​

\({z^2} + \bar z\)
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tổng thành tích trong lượng giác.
Giải chi tiết:
Acgumen \({z^2} + \bar z\) là \({\varphi  \over 2}\) nếu \({\rm{cos}}{{3\varphi } \over 2} > 0\), là \({\varphi  \over 2} + \pi \) nếu \({\rm{cos}}{{3\varphi } \over 2} < 0\) và không xác định nếu \({\rm{cos}}{{3\varphi } \over 2} = 0\)