Giải mục 6 trang 40 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Thực hành 6​

Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}cosx{\rm{ }} = {\rm{ }}0,4;}\\{b){\rm{ }}tanx{\rm{ }} = \sqrt 3 .}\end{array}\)
Phương pháp giải:
+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
+ Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:
\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: \(cos1,16 \approx 0,4\)nên \(cosx = cos1,16\) do đó các nghiệm của phương trình là \(x = 1,16 + k2\pi \) hoặc \(x = -1,16 + k2\pi \)với \(k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 1,16 + k2\pi ;-1,16 + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\} \).
b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: \(tanx{\rm{ }} = \sqrt 3 \) nên \(tanx = tan\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Vận dụng​

Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là \(x = 17cos5\pi t \left( {cm} \right)\) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng \(|x| \) vừa bằng 10. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười
Phương pháp giải:
+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:
Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:
\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình \(\left| {17cos5\pi t} \right| = 10\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}17cos5\pi t = 10\\17cos5\pi t =-10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}cos5\pi t = \frac{{10}}{{17}}\\cos5\pi t = -\frac{{10}}{{17}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\pi t = \pm 0,9 + k2\pi \\5\pi t = \pm 2,2 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \pm 0,06 + k\frac{2}{5}\\t = \pm 0,14 + k\frac{2}{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Độ dài bóng \(|x| \)bằng 10 cm tại các thời điểm \(t = \pm 0,06 + k\frac{2}{5}\),\(t = \pm 0,14 + k\frac{2}{5}\),\(k \in \mathbb{Z}\).