Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(D\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BD = CE.\) Kẻ \(BH\) vuông góc với \(AD,\) kẻ \(CK\) vuông góc với \(AE.\) Chứng minh rằng:
a) \(BH = CK\)
b) \(∆ABH = ∆ACK\)
a) \(BH = CK\)
b) \(∆ABH = ∆ACK\)
Phương pháp giải
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(∆ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)
Ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\(\widehat {ACB} + \widehat {AC{\rm{E}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra: \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\)
Xét \(∆ABD\) và \(∆ACE\) có:
\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (chứng minh trên)
\(BD = CE\) (gt)
\( \Rightarrow ∆ABD = ∆ACE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat D = \widehat E\) (hai góc tương ứng).
Xét hai tam giác vuông \(BHD\) và \(CKE\) có:
\(\widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)
\(BD = CE\) (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆BHD = ∆CKE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng).
b) Xét tam giác vuông \(ABH\) và \(ACK\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \)
\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(BH = CK\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ABH = ∆ACK\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\Delta A B C$ có $A B=A C$ $D \in$ tia đối tia $B C, E \in$ tia đối tia $C B$ sao cho $B D=C E$ $B H \perp A D, C K \perp A E$ |
| KL | a) $B H=C K$ b) $\triangle A B H=\triangle A C K$ |
a) Vì \(∆ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)
Ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\(\widehat {ACB} + \widehat {AC{\rm{E}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra: \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\)
Xét \(∆ABD\) và \(∆ACE\) có:
\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (chứng minh trên)
\(BD = CE\) (gt)
\( \Rightarrow ∆ABD = ∆ACE\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat D = \widehat E\) (hai góc tương ứng).
Xét hai tam giác vuông \(BHD\) và \(CKE\) có:
\(\widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)
\(BD = CE\) (gt)
\(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆BHD = ∆CKE\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng).
b) Xét tam giác vuông \(ABH\) và \(ACK\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \)
\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))
\(BH = CK\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆ABH = ∆ACK\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).