Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Kẻ \(BD\) vuông góc với \(AC,\) kẻ \(CE\) vuông góc với \(AB.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE.\) Chứng minh rằng \(AK\) là tia phân giác của góc \(A.\)
Phương pháp giải
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Xét hai tam giác vuông \(ADB\) và \(AEC\) có:
\(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \)
\(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat {A} \) chung
\( \Rightarrow ∆ADB = ∆AEC\) (cạnh huyền - góc nhọn).
\( \Rightarrow AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông \(ADK\) và \(AEK\) có:
\(\widehat {A{\rm{D}}K} = \widehat {A{\rm{E}}K} = 90^\circ \)
\(AD = AE\) (chứng minh trên)
\(AK\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆ADK = ∆AEK\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow \widehat {DAK} = \widehat {E{\rm{A}}K}\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(AK\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C$ có $A B=A C$ $B D \perp A C, C E \perp A B, B D \cap C E=\{K\}$ |
| KL | $A K$ là tia phân giác $\widehat{A}$ |
Xét hai tam giác vuông \(ADB\) và \(AEC\) có:
\(\widehat {A{\rm{D}}B} = \widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \)
\(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat {A} \) chung
\( \Rightarrow ∆ADB = ∆AEC\) (cạnh huyền - góc nhọn).
\( \Rightarrow AD = AE\) (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông \(ADK\) và \(AEK\) có:
\(\widehat {A{\rm{D}}K} = \widehat {A{\rm{E}}K} = 90^\circ \)
\(AD = AE\) (chứng minh trên)
\(AK\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆ADK = ∆AEK\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow \widehat {DAK} = \widehat {E{\rm{A}}K}\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(AK\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)