Google
Câu hỏi: Tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AM\) là tia phân giác của góc \(A.\) Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác cân.
Phương pháp giải
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Kẻ \(MH \bot AB,MK \bot AC\) \((H\in AB, K\in AC)\).
Xét hai tam giác vuông \(AHM\) và \(AKM\) có:
\(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \)
\(\widehat {HAM} = \widehat {KAM}\) (vì \(AM\) là tia phân giác góc \(A\))
\(AM\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆AHM = ∆AKM\) (cạnh huyền - góc nhọn).
\( \Rightarrow MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông \(MHB\) và \(MKC\) có:
\(\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \)
\(MH = MK\) (chứng minh trên)
\(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))
\( \Rightarrow ∆MHB = ∆MKC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $ \Delta A B C \text { có } M B=M C(M \in B C) $ $A M$ là tia phân giác $\widehat{A}$ |
| KL | $\triangle A B C$ cân |
Kẻ \(MH \bot AB,MK \bot AC\) \((H\in AB, K\in AC)\).
Xét hai tam giác vuông \(AHM\) và \(AKM\) có:
\(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \)
\(\widehat {HAM} = \widehat {KAM}\) (vì \(AM\) là tia phân giác góc \(A\))
\(AM\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆AHM = ∆AKM\) (cạnh huyền - góc nhọn).
\( \Rightarrow MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông \(MHB\) và \(MKC\) có:
\(\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \)
\(MH = MK\) (chứng minh trên)
\(MB = MC\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))
\( \Rightarrow ∆MHB = ∆MKC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)