Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Các đường trung trực của \(AB, AC\) cắt nhau ở \(I.\) Chứng minh rằng \(AI\) là tia phân giác của góc \(A.\)
Phương pháp giải
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC.\)
Suy ra \(IM, IN\) là hai đường trung trực của \(AB, AC.\)
Ta có:
\( AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) (1)
\(\displaystyle AM = {1 \over 2}AB\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AB\)) (2)
\( \displaystyle AN = {1 \over 2}AC\) (vì \(N\) là trung điểm của \(AC\)) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AM = AN\).
Xét hai tam giác vuông \(AMI\) và \(ANI\) có:
\(\widehat {AMI} = \widehat {ANI} = 90^\circ \)
\(AM = AN \) (chứng minh trên)
\(AI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆AMI = ∆ANI\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C$ có $A B=A C$ Các đường trung trực của $\mathrm{AB}$, AC cắt nhau tai $I$ |
| KL | $A I$ là tia phân giác $\widehat{A}$ |
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC.\)
Suy ra \(IM, IN\) là hai đường trung trực của \(AB, AC.\)
Ta có:
\( AB{\rm{ }} = {\rm{ }}AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) (1)
\(\displaystyle AM = {1 \over 2}AB\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AB\)) (2)
\( \displaystyle AN = {1 \over 2}AC\) (vì \(N\) là trung điểm của \(AC\)) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AM = AN\).
Xét hai tam giác vuông \(AMI\) và \(ANI\) có:
\(\widehat {AMI} = \widehat {ANI} = 90^\circ \)
\(AM = AN \) (chứng minh trên)
\(AI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆AMI = ∆ANI\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (hai góc tương ứng).
Vậy \(AI\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).