Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác của góc \(A\) cắt đường trung trực của \(BC\) tại \(I.\) Kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(AB\), kẻ \(IK\) vuông góc với đường thẳng \(AC.\) Chứng minh rằng \(BH = CK.\)
Phương pháp giải
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Gọi \(M\) là giao của đường trung trực của \(BC\) với \(BC\), suy ra \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Xét \(∆BMI\) và \(∆CMI\) có:
+) \(BM = CM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))
+) \(\widehat {BMI} = \widehat {CMI} = 90^\circ \)
+) \(MI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆BMI = ∆CMI \) (c.g.c)
\( \Rightarrow IB = IC\) (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông \(IHA\) và \(IKA\) có:
+) \(\widehat {IHA} = \widehat {IK{\rm{A}}} =90^0 \)
+) \(\widehat {HAI} = \widehat {K{\rm{A}}I} \) (vì \(AI\) là phân giác góc \(A\))
+) \(AI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆IHA = ∆IKA\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow IH = IK\) (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông \(IHB\) và \(IKC\) có:
+) \(\widehat {IHB} = \widehat {IKC}=90^0 \)
+) \(IB = IC\) (chứng minh trên)
+) \(IH = IK\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆IHB = ∆IKC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng).
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
- Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Lời giải chi tiết
| GT | $\triangle A B C$ có $A B<A C$. Tia phân giác $\widehat{A}$ cắt đường trung trực của $B C$ tại $I$ $I H \perp A B, I K \perp A C$ |
| KL | $B H=C K$ |
Gọi \(M\) là giao của đường trung trực của \(BC\) với \(BC\), suy ra \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Xét \(∆BMI\) và \(∆CMI\) có:
+) \(BM = CM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(BC\))
+) \(\widehat {BMI} = \widehat {CMI} = 90^\circ \)
+) \(MI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆BMI = ∆CMI \) (c.g.c)
\( \Rightarrow IB = IC\) (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác vuông \(IHA\) và \(IKA\) có:
+) \(\widehat {IHA} = \widehat {IK{\rm{A}}} =90^0 \)
+) \(\widehat {HAI} = \widehat {K{\rm{A}}I} \) (vì \(AI\) là phân giác góc \(A\))
+) \(AI\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆IHA = ∆IKA\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow IH = IK\) (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông \(IHB\) và \(IKC\) có:
+) \(\widehat {IHB} = \widehat {IKC}=90^0 \)
+) \(IB = IC\) (chứng minh trên)
+) \(IH = IK\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆IHB = ∆IKC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng).