Google
Câu hỏi: Cho hình thang \(ABCD\). Biết hai đáy \(AB = a\) và \(CD = 2a\), cạnh bên \(AD = a\), \(\widehat A = 90^\circ \)
a) Chứng minh \(tan\widehat C = 1.\)
b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD.
c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.
a) Chứng minh \(tan\widehat C = 1.\)
b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD.
c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD.
Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức :
- Tứ giác có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Công thức tính diện tích tam giác và hình thang.
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a) Kẻ \(BH \bot CD\)
Ta có: \(AB // CD\) nên \(\widehat A + \widehat {ADC} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau) và \(\widehat A = 90^\circ \) (gt)
Suy ra: \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)
Từ đó, tứ giác \(ABHD\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Mà \(AB = AD = a\) nên \(ABHD\) là hình vuông.
Suy ra: \(DH = BH = AB = a\)
Ta có: \(CD = DH + HC\)
Suy ra: \(HC = CD – DH = 2a – a = a\)
Vậy \(tan\widehat C = \displaystyle {{BH} \over {CH}} = {a \over a} = 1\)
b) Ta có: \({S_{BCD}} = \displaystyle {1 \over 2}BH.CD = {1 \over 2}a.2a = {a^2}\) (đvdt)
\({S_{ABCD}} = \displaystyle {{AB + CD} \over 2}.AD\)\( = \displaystyle {{a + 2a} \over 2}.a = {3 \over 2}{a^2}\) (đvdt)
Vậy \(\displaystyle {{{S_{BCD}}} \over {{S_{ABCD}}}} = \displaystyle {{{a^2}} \over {\displaystyle {3 \over 2}{a^2}}} = {1 \over {\displaystyle {3 \over 2}}} = {2 \over 3}.\)
c) Diện tích tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) là: \({S_{ADC}} = \displaystyle {1 \over 2}AD.DC\)\( =\dfrac{1}{2}a.2a=a^2\) (đvdt)
Mà \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{2}a^2\) (theo câu b)
Ta có: \({S_{ABC}} =S_{ABCD}-S_{ADC}=\dfrac{3}{2}a^2-a^2\)\(= \displaystyle {1 \over 2}a.a = {1 \over 2}{a^2}\) (đvdt)
Vậy \(\displaystyle {{{S_{ABC}}} \over {{S_{BCD}}}} = {\displaystyle {{1 \over 2}{a^2}} \over {{a^2}}} = {1 \over 2}\)
(với đvdt: đơn vị diện tích)
Vận dụng kiến thức :
- Tứ giác có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
- Công thức tính diện tích tam giác và hình thang.
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a) Kẻ \(BH \bot CD\)
Ta có: \(AB // CD\) nên \(\widehat A + \widehat {ADC} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau) và \(\widehat A = 90^\circ \) (gt)
Suy ra: \(\widehat {ADC} = 90^\circ \)
Từ đó, tứ giác \(ABHD\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Mà \(AB = AD = a\) nên \(ABHD\) là hình vuông.
Suy ra: \(DH = BH = AB = a\)
Ta có: \(CD = DH + HC\)
Suy ra: \(HC = CD – DH = 2a – a = a\)
Vậy \(tan\widehat C = \displaystyle {{BH} \over {CH}} = {a \over a} = 1\)
b) Ta có: \({S_{BCD}} = \displaystyle {1 \over 2}BH.CD = {1 \over 2}a.2a = {a^2}\) (đvdt)
\({S_{ABCD}} = \displaystyle {{AB + CD} \over 2}.AD\)\( = \displaystyle {{a + 2a} \over 2}.a = {3 \over 2}{a^2}\) (đvdt)
Vậy \(\displaystyle {{{S_{BCD}}} \over {{S_{ABCD}}}} = \displaystyle {{{a^2}} \over {\displaystyle {3 \over 2}{a^2}}} = {1 \over {\displaystyle {3 \over 2}}} = {2 \over 3}.\)
c) Diện tích tam giác \(ADC\) vuông tại \(D\) là: \({S_{ADC}} = \displaystyle {1 \over 2}AD.DC\)\( =\dfrac{1}{2}a.2a=a^2\) (đvdt)
Mà \(S_{ABCD}=\dfrac{3}{2}a^2\) (theo câu b)
Ta có: \({S_{ABC}} =S_{ABCD}-S_{ADC}=\dfrac{3}{2}a^2-a^2\)\(= \displaystyle {1 \over 2}a.a = {1 \over 2}{a^2}\) (đvdt)
Vậy \(\displaystyle {{{S_{ABC}}} \over {{S_{BCD}}}} = {\displaystyle {{1 \over 2}{a^2}} \over {{a^2}}} = {1 \over 2}\)
(với đvdt: đơn vị diện tích)