Google
Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), đường cao \(BH\). Hãy tính góc \(A\) và các cạnh \(AB, BC\), nếu biết \(BH = h\) và \(\widehat C = \alpha .\)
Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C = \alpha \)
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\) \( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - 2\alpha .\)
Tam giác vuông \(HBC\) có \(BC = \dfrac{{BH}}{{\sin \widehat C}}= \displaystyle {h \over {\sin \alpha }}\).
Kẻ đường cao \(AI\) của tam giác cân \(ABC\) thì AI cũng là đường trung tuyến nên \(BI = IC = \dfrac{{BC}}{2}\)
Xét tam giác ACI vuông tại I, có: \(AC = \displaystyle {{IC} \over {\cos \alpha }} = { \displaystyle {{{BC} \over 2}} \over {{\rm{cos}}\alpha }}\)\( = \displaystyle {h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)
Vậy \(AB = AC =\) \(\displaystyle {h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)
Vận dụng kiến thức về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C = \alpha \)
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\) \( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - 2\alpha .\)
Tam giác vuông \(HBC\) có \(BC = \dfrac{{BH}}{{\sin \widehat C}}= \displaystyle {h \over {\sin \alpha }}\).
Kẻ đường cao \(AI\) của tam giác cân \(ABC\) thì AI cũng là đường trung tuyến nên \(BI = IC = \dfrac{{BC}}{2}\)
Xét tam giác ACI vuông tại I, có: \(AC = \displaystyle {{IC} \over {\cos \alpha }} = { \displaystyle {{{BC} \over 2}} \over {{\rm{cos}}\alpha }}\)\( = \displaystyle {h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)
Vậy \(AB = AC =\) \(\displaystyle {h \over {2\sin \alpha \cos \alpha }}.\)