Google
Câu hỏi: Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CD\). Tính \(cos \widehat {MAN}\)
Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức về tỉ số lượng giác và công thức tính diện tích tam giác.
Lời giải chi tiết
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của BC và DC nên \(BM=MC=DN=NC\)\(=2a:2=a\)
Xét tam giác vuông ADN, theo định lý Pytago ta có:
\(A{N^2} = A{D^2} + D{N^2} \)\(= {\left( {2a} \right)^2} + {a^2} = 5{a^2}\)
\( \Rightarrow AN = a\sqrt 5 \)
Xét tam giác vuông ABM, theo định lý Pytago ta có:
\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} \)\(= {\left( {2a} \right)^2} + {a^2} = 5{a^2}\)
\( \Rightarrow AM = a\sqrt 5 \)
Kẻ đường cao \(MH\) của tam giác \(AMN\). Ta có \(\sin \widehat {NAM} = \displaystyle {{HM} \over {AM}}\) \( \Rightarrow HM = AM.\sin \widehat {NAM}\) và diện tích tam giác \(AMN\) là:
\({S_{AMN}} = \displaystyle {1 \over 2}AN.MH\)\( = \displaystyle {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \)
\(= \displaystyle {1 \over 2}.a\sqrt 5.a\sqrt 5.\sin \widehat {NAM} \)\( = \displaystyle {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\)
Mặt khác:
\({S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} - {S_{ADN}}\)\( - {S_{MNC}} \)
\( = {\left( {AB} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.AB.BM - \dfrac{1}{2}AD.DN - \dfrac{1}{2}MC.NC\)
\( = {\left( {2a} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}a.a\)
\(= 4{a^2} - {a^2}-a^2 - \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)\( =\displaystyle { {3{a^2}} \over 2}. \)
Từ đó:
\(\begin{array}{l}
{S_{AMN}} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\sin \widehat {NAM} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\\
\Rightarrow \sin \widehat {NAM} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{5{a^2}}}{2}}} = \dfrac{3}{5}
\end{array}\)
Vì \({\sin ^2}\widehat {NAM} + {\cos ^2}\widehat {NAM} = 1\) nên:
\(\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {NAM}}\)\( = \sqrt {1 - \displaystyle {9 \over {25}}} = \displaystyle {4 \over 5}.\)
Vận dụng kiến thức về tỉ số lượng giác và công thức tính diện tích tam giác.
Lời giải chi tiết
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của BC và DC nên \(BM=MC=DN=NC\)\(=2a:2=a\)
Xét tam giác vuông ADN, theo định lý Pytago ta có:
\(A{N^2} = A{D^2} + D{N^2} \)\(= {\left( {2a} \right)^2} + {a^2} = 5{a^2}\)
\( \Rightarrow AN = a\sqrt 5 \)
Xét tam giác vuông ABM, theo định lý Pytago ta có:
\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} \)\(= {\left( {2a} \right)^2} + {a^2} = 5{a^2}\)
\( \Rightarrow AM = a\sqrt 5 \)
Kẻ đường cao \(MH\) của tam giác \(AMN\). Ta có \(\sin \widehat {NAM} = \displaystyle {{HM} \over {AM}}\) \( \Rightarrow HM = AM.\sin \widehat {NAM}\) và diện tích tam giác \(AMN\) là:
\({S_{AMN}} = \displaystyle {1 \over 2}AN.MH\)\( = \displaystyle {1 \over 2}AN.AM\sin \widehat {NAM} \)
\(= \displaystyle {1 \over 2}.a\sqrt 5.a\sqrt 5.\sin \widehat {NAM} \)\( = \displaystyle {{5{a^2}} \over 2}\sin \widehat {NAM}.\)
Mặt khác:
\({S_{AMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABM}} - {S_{ADN}}\)\( - {S_{MNC}} \)
\( = {\left( {AB} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.AB.BM - \dfrac{1}{2}AD.DN - \dfrac{1}{2}MC.NC\)
\( = {\left( {2a} \right)^2} - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}.2a.a - \dfrac{1}{2}a.a\)
\(= 4{a^2} - {a^2}-a^2 - \displaystyle {{{a^2}} \over 2}\)\( =\displaystyle { {3{a^2}} \over 2}. \)
Từ đó:
\(\begin{array}{l}
{S_{AMN}} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\sin \widehat {NAM} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\\
\Rightarrow \sin \widehat {NAM} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{\dfrac{{5{a^2}}}{2}}} = \dfrac{3}{5}
\end{array}\)
Vì \({\sin ^2}\widehat {NAM} + {\cos ^2}\widehat {NAM} = 1\) nên:
\(\cos \widehat {NAM} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {NAM}}\)\( = \sqrt {1 - \displaystyle {9 \over {25}}} = \displaystyle {4 \over 5}.\)