Bài 9 trang 189 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho phương trình : \({x^2} + {y^2} - 2mx - 2(m + 1)y + 4m = 0\).        (1)

Câu a​

Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của một đường tròn trong hệ tọa độ Oxy ?
Giải chi tiết:
Viết (1) dưới dạng:
\({(x - m)^2} + {(y - m - 1)^2} = {m^2} + {(m + 1)^2} - 4m = {m^2} + {(m - 1)^2}.\)
Vì \({m^2} + {(m - 1)^2} > 0\) với mọi m nên (1) là phương trình đường tròn với mọi m.

Câu b​

Khi m thay đổi, tìm quỹ tích tâm của các đường tròn (1).
Giải chi tiết:
Tâm I của đường tròn (1) có tọa độ : x=m, y=m+1. Suy ra quỹ tích các điểm I là đường thẳng có phương trình y=x+1.

Câu c​

Chứng minh rằng các đường tròn (1) luôn đi qua hai điểm cố định.
Giải chi tiết:
Ta tìm cặp số (x0​ ; y0​) sao cho \(x_0^2 + y_0^2 - 2m{x_0} - 2(m + 1){y_0} + 4m = 0\) với mọi m.
Biến đổi đẳng thức trên ta có : \(2m(2 - {x_0} - {y_0}) + x_0^2 + y_0^2 - 2{y_0} = 0\) với mọi m.
Từ đó suy ra : \(2 - {x_0} - {y_0} = 0\) và \(x_0^2 + y_0^2 - 2{y_0} = 0\). Giải ra ta có hai cặp số (1; 1) và (0; 2) là nghiệm. Vậy đường tròn (1) luôn đi qua hai điểm cố định là A(1; 1) Và B(0; 2).