Bài 1 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B,\) \(AB = AD =  \dfrac{1}{2}BC = 1\). Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b  ,  \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow d \).

Câu a​

Biểu thị các vectơ sau đây theo hai vectơ \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow d  : \overrightarrow {BD}  ,  \overrightarrow {BC}  ,  \overrightarrow {DC}  ,  \overrightarrow {AC} \).
Giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow d  - \overrightarrow b  ;\\\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow d  ;\\\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BD} \\ = 2\overrightarrow d  - (\overrightarrow d  - \overrightarrow b) = \overrightarrow b  + \overrightarrow d  ;\\\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b  + 2\overrightarrow d .\end{array}\)

Câu b​

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB, N\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {DN}  =  \dfrac{1}{3}\overrightarrow {DC} \). Chứng minh \(AN//CM\) và \(BN//DM.\)
Giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AC}\\  =  \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} - (\overrightarrow b  + 2\overrightarrow d) =  -  \dfrac{{\overrightarrow b  + 4\overrightarrow d }}{2} ;\\\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}\\  = \overrightarrow d  +  \dfrac{{\overrightarrow b  + \overrightarrow d }}{3} \\=  \dfrac{{\overrightarrow b  + 4\overrightarrow d }}{3} =  -  \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CM} .\end{array}\)
Vậy \(CM//AN.\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AD}\\  =  \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} - \overrightarrow d  =  \dfrac{{\overrightarrow b  - 2\overrightarrow d }}{2} ;\\\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DN} \\ = \overrightarrow d  - \overrightarrow b  +  \dfrac{{\overrightarrow b  + \overrightarrow d }}{3}\\ =  \dfrac{{ - 2\overrightarrow b  + 4\overrightarrow d }}{3} =  -  \dfrac{4}{3}\overrightarrow {DM} .\end{array}\)
Vậy \(DM//BN.\)

Câu c​

Tính diện tích hai tam giác \(ANB, DNC.\)
Giải chi tiết:
Gọi \(\varphi \) là góc hợp bởi \(\overrightarrow {NA} \) và \(\overrightarrow {NB} \), ta có \(\cos \varphi  =  \dfrac{{\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB} }}{{NA. NB}}\).
Theo  câu a), ta có \(\overrightarrow {NA} .\overrightarrow {NB}  =  \dfrac{{(\overrightarrow b  + 4\overrightarrow d)(- 2\overrightarrow b  + 4\overrightarrow d)}}{9}\)
\(=  \dfrac{{ - 2 + 16}}{9} =  \dfrac{{14}}{9}\).
\(\begin{array}{l}NA = \sqrt {{{\left( { \dfrac{{\overrightarrow b  + 4\overrightarrow d }}{3}} \right)}^2}}  =  \dfrac{{\sqrt {17} }}{3}  ,\\   NB = \sqrt {{{\left({ \dfrac{{ - 2\overrightarrow b  + 4\overrightarrow d }}{3}} \right)}^2}}  =  \dfrac{{\sqrt {20} }}{3}.\\ \Rightarrow    \cos \varphi  =  \dfrac{7}{{\sqrt {85} }}.\end{array}\)
Vậy \(\sin \varphi  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi } =  \dfrac{6}{{\sqrt {85} }}\).
Vậy \({S_{ANB}} =  \dfrac{1}{2}NA. NB.\sin \varphi \)
\(=  \dfrac{1}{2}. \dfrac{{\sqrt {17} }}{3}. \dfrac{{\sqrt {20} }}{3}. \dfrac{6}{{\sqrt {85} }} =  \dfrac{2}{3}\).
Theo câu a), ta có góc \(CMD = \varphi \).
Theo câu b), ta có \(MC = \sqrt {{{\left( { \dfrac{{\overrightarrow b  + 4\overrightarrow d }}{2}} \right)}^2}}  =  \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}  , \)
\(MD = \sqrt {{{\left( { \dfrac{{ - \overrightarrow b  + 2\overrightarrow d }}{2}} \right)}^2}}  =  \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Vậy \({S_{CMD}} =  \dfrac{1}{2}. MC. MD.\sin \varphi \)
\(=  \dfrac{1}{2}. \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}. \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}. \dfrac{6}{{\sqrt {85} }} =  \dfrac{3}{4}\).

Câu d​

Tính diện tích hình bình hành tạo bởi các đường thẳng \(AN, CM, BN, DM.\)
Giải chi tiết:
Do \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên hình bình hành cũng nhận các trung điểm của \(NA\) và \(NB\) làm đỉnh. Vậy diện tích hình bình hành đó bằng nửa diện tích tam giác \(ANB\) hay bằng \(\dfrac{1}{3}\).