Bài 2 trang 188 SBT Hình học 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:

Câu a​

\(a=b\cos C+c \cos B ;\)
Giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} \).
Bằng cách nhân hai vế với \(\overrightarrow {BC} \), ta được:
\(\begin{array}{l}{\overrightarrow {BC} ^2} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  \\    \Leftrightarrow   {a^2} = ca\cos B + ba\cos C\\                                                       \Leftrightarrow a = b\cos C + c\cos B.\end{array}\)

Câu b​

\(\sin A= \sin B \cos C+ \sin C \cos B ;\)
Giải chi tiết:
Thay \(a=2R \sin A,\) \(b=2R \sin B,\) \(c=2R \sin C\) vào công thức cuối câu a), ta được điều cần chứng minh.

Câu c​

\({h_a} = 2R\sin B\sin C\) ;
Giải chi tiết:
Ta có \(a.{h_a} = 2S =  \dfrac{{ab}}{{2R}} \)
\(=  \dfrac{{a. 2R\sin B. 2R\sin C}}{{2R}} \)
\(    \Leftrightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\).

Câu d​

\(bc({b^2} - {c^2})\cos A + ca({c^2} - {a^2})\cos B\) \(+ ab({a^2} - {b^2})\cos C = 0\)
Giải chi tiết:
Chú ý rằng \(2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - {a^2}\) và từ các công thức tương tự, ta có:
\(\begin{array}{l}bc({b^2} - {c^2})\cos A + ca({c^2} - {a^2})\cos B + ab({a^2} - {b^2})\cos C\\ =  \dfrac{1}{2}\left[ {({b^2} - {c^2})({b^2} + {c^2} - {a^2}) + ({c^2} - {a^2})({c^2} + {a^2} - {b^2}) + ({a^2} - {b^2})({a^2} + {b^2} - {c^2})} \right] = 0.\end{array}\)

Câu e​

Nếu \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) thì:
\(B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2}\) \(= A{B^2} + H{C^2}\).
Giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2} \\   \Leftrightarrow   {\overrightarrow {BC} ^2} - {\overrightarrow {CA} ^2} = {\overrightarrow {BH} ^2} - {\overrightarrow {HA} ^2}\\\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} } \right)\left({\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {CA} } \right)\\ = \left({\overrightarrow {BH}  + \overrightarrow {HA} } \right)\left({\overrightarrow {BH}  - \overrightarrow {HA} } \right)\\\Leftrightarrow \overrightarrow {BA} \left({\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {CA} } \right) \\= \overrightarrow {BA} \left({\overrightarrow {BH}  - \overrightarrow {HA} } \right).                                        (*)\end{array}\)
Nếu ta gọi \(C’\) là chân đường cao hạ từ \(C\) của tam giác \(ABC\) thì vec tơ \(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {CA} \) và vec tơ \(\overrightarrow {BH}  - \overrightarrow {HA} \) có hình chiếu trên đường thẳng \(BA\) đều là \(\overrightarrow {BC'}  - \overrightarrow {C'A} \). Vậy đẳng thức (*) được chứng minh và do đó
\(B{C^2} + H{A^2} = C{A^2} + H{B^2}\).
Đẳng thức còn lại chứng minh tương tự.