Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b và AB=c. Kẻ đường phân giác AD, biết b’=DC, c’=DB. Đặt l=AD.
a) Tính l theo b, c, b’, c’.
b) Tính l theo a, b, c.
a) Tính l theo b, c, b’, c’.
b) Tính l theo a, b, c.
Lời giải chi tiết
(h. 138).
A) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tia AD cắt (O) tại E. Ta có AD. DE=DB. DC, tức là \(l. DE = b'c'\).
Dễ thấy hai tam giác AEC và ABD đồng dạng, do đó:
\({{AC} \over {AD}} = {{AE} \over {AB}}\) hay \(bc = l.(l + DE) = {l^2} + l. DE = {l^2} + b'c'\).
Vậy ta có \({l^2} = bc - b'c'\) hay \(l = \sqrt {bc - b'c'} \).
b) Theo tính chất đường phân giác ta có: \({{b'} \over {c'}} = {b \over c}\).
Từ đó, ta có:
\({{b'} \over {b' + c'}} = {b \over {b + c}} , {{c'} \over {b' + c'}} = {c \over {b + c}}\). Suy ra \(b' = {{ab} \over {b + c}} , c' = {{ac} \over {b + c}}.\)
Vậy từ câu a), ta có
\(l = \sqrt {bc - {{{a^2}bc} \over {{{(b + c)}^2}}}} = {{\sqrt {bc\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right]} } \over {b + c}}\).
(h. 138).
A) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tia AD cắt (O) tại E. Ta có AD. DE=DB. DC, tức là \(l. DE = b'c'\).
Dễ thấy hai tam giác AEC và ABD đồng dạng, do đó:
\({{AC} \over {AD}} = {{AE} \over {AB}}\) hay \(bc = l.(l + DE) = {l^2} + l. DE = {l^2} + b'c'\).
Vậy ta có \({l^2} = bc - b'c'\) hay \(l = \sqrt {bc - b'c'} \).
b) Theo tính chất đường phân giác ta có: \({{b'} \over {c'}} = {b \over c}\).
Từ đó, ta có:
\({{b'} \over {b' + c'}} = {b \over {b + c}} , {{c'} \over {b' + c'}} = {c \over {b + c}}\). Suy ra \(b' = {{ab} \over {b + c}} , c' = {{ac} \over {b + c}}.\)
Vậy từ câu a), ta có
\(l = \sqrt {bc - {{{a^2}bc} \over {{{(b + c)}^2}}}} = {{\sqrt {bc\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right]} } \over {b + c}}\).