Google
Câu hỏi: Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\end{array}\)
Tâm và bán kính của đường tròn lần lượt là \(I\left( {2; 0} \right); R = 1\)
Lời giải chi tiết:
Tâm đường tròn (C’) có bán kính bằng 1 và có tâm I’ đối xứng với I qua đường thẳng d: 4x-3y=0. Giả sử I’=(x; y) thì vec tơ \(\overrightarrow {II'} = (x - 2; y)\) phải vuông góc với vec tơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = (3; 4)\), tức là 3(x-2)+4y=0 hay 3x+4y-6=0. (1)
Ngoài ra trung điểm của II’ là \(P = \left( {{{x + 2} \over 2} ; {y \over 2}} \right)\) phải nằm trên d, tức là: \({{4(x + 2)} \over 2} - {{3y} \over 2} = 0\) hay 4x-3y+8=0. (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta được tọa độ I’ là \(x = - {{14} \over {25}} , y = {{48} \over {25}}\).
Vậy phương trình đường tròn (C’) là \({\left( {x + {{14} \over {25}}} \right)^2} + {\left({y - {{48} \over {25}}} \right)^2} = 1\).
Lời giải chi tiết:
Hiển nhiên hai tiếp điểm T và T’ đều nằm trên đường tròn (C1) có đường kính MI. Đường tròn đó có tâm là trung điểm Q của MI, \(Q = \left( {1 ; {m \over 2}} \right)\) và có bán kính \(r = QI = \sqrt {1 + {{{m^2}} \over 4}} \). Vậy (C1) có phương trình:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - {m \over 2}} \right)^2} = 1 + {{{m^2}} \over 4} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - my = 0.\)
Hai tiếp điểm T và T’ là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C1) nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 2x - my = 0. \hfill \cr} \right.\)
Từ hai phương trình trên, ta suy ra 2x-my-3=0. (*)
Tọa độ của T và T’ là các nghiệm của hệ phương trình trên nên cũng là nghiệm của phương trình (*). Suy ra chính là phương trình của đường thẳng TT’. Đường thẳng đó luôn đi qua điểm cố định \(S\left( {{3 \over 2} ; 0} \right)\).
Câu a
Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\end{array}\)
Tâm và bán kính của đường tròn lần lượt là \(I\left( {2; 0} \right); R = 1\)
Câu b
Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường thẳng 4x-3y=0.Lời giải chi tiết:
Tâm đường tròn (C’) có bán kính bằng 1 và có tâm I’ đối xứng với I qua đường thẳng d: 4x-3y=0. Giả sử I’=(x; y) thì vec tơ \(\overrightarrow {II'} = (x - 2; y)\) phải vuông góc với vec tơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u = (3; 4)\), tức là 3(x-2)+4y=0 hay 3x+4y-6=0. (1)
Ngoài ra trung điểm của II’ là \(P = \left( {{{x + 2} \over 2} ; {y \over 2}} \right)\) phải nằm trên d, tức là: \({{4(x + 2)} \over 2} - {{3y} \over 2} = 0\) hay 4x-3y+8=0. (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta được tọa độ I’ là \(x = - {{14} \over {25}} , y = {{48} \over {25}}\).
Vậy phương trình đường tròn (C’) là \({\left( {x + {{14} \over {25}}} \right)^2} + {\left({y - {{48} \over {25}}} \right)^2} = 1\).
Câu c
Gọi M là điểm có tọa độ M=(0; m). Gọi MT và MT’ là hai tiếp tuyến của (C). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm T và T’. Chứng minh rằng đường thẳng TT’ luôn đi qua một điểm cố định.Lời giải chi tiết:
Hiển nhiên hai tiếp điểm T và T’ đều nằm trên đường tròn (C1) có đường kính MI. Đường tròn đó có tâm là trung điểm Q của MI, \(Q = \left( {1 ; {m \over 2}} \right)\) và có bán kính \(r = QI = \sqrt {1 + {{{m^2}} \over 4}} \). Vậy (C1) có phương trình:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left({y - {m \over 2}} \right)^2} = 1 + {{{m^2}} \over 4} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - my = 0.\)
Hai tiếp điểm T và T’ là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C1) nên tọa độ của chúng là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} - 4x + 3 = 0 \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 2x - my = 0. \hfill \cr} \right.\)
Từ hai phương trình trên, ta suy ra 2x-my-3=0. (*)
Tọa độ của T và T’ là các nghiệm của hệ phương trình trên nên cũng là nghiệm của phương trình (*). Suy ra chính là phương trình của đường thẳng TT’. Đường thẳng đó luôn đi qua điểm cố định \(S\left( {{3 \over 2} ; 0} \right)\).
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!