Google
Câu hỏi: Hai đoạn thẳng \(AC, BD\) vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng. Tính các độ dài \(AB, BC, CD, DA\) biết \(AC = 12cm, BD = 16cm.\)
Phương pháp giải
Áp dụng định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)
Theo giả thiết thì \(I\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD.\)
Suy ra:
\(\begin{gathered}
IA = IC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6(cm) \hfill \\
IB = ID = \frac{{BD}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\left( {cm} \right) \hfill \\
\end{gathered} \)
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(AIB\), ta có:
\( A{B^2} = I{A^2} + I{B^2} \)
\( \Rightarrow A{B^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \)
\( \Rightarrow AB = 10 (cm)\).
Xét \(∆IAB \) và \( ∆IAD\) có:
\(IA\) chung
\(IB=ID\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AIB} = \widehat {AID} = {90^o}\)
\( \Rightarrow ∆IAB = ∆IAD\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AB= AD\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \(∆IAD\) và \( ∆ICB\) có:
\(IA=IC\) (chứng minh trên)
\(ID=IB\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AID} = \widehat {CIB}=90^o\)
\( \Rightarrow ∆IAD = ∆ICB \) (c.g.c)
\( \Rightarrow AD= CB\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Xét \(∆ICB \) và \( ∆ICD\) có:
\(IC\) chung
\(IB=ID\) (chứng minh trên)
\(\widehat {CIB} = \widehat {CID} = {90^o}\)
\( \Rightarrow ∆ICB = ∆ICD\) (c.g.c)
\( \Rightarrow CB=CD \) (hai cạnh tương ứng) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AD = BC = CD = AB = 10\) (cm).
Áp dụng định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
| GT | $A B$ và $C D$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn $A C=12 \mathrm{~cm}, B D=16 \mathrm{~cm}$ |
| KL | Tính $A B, B C, C D, D A$ |
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)
Theo giả thiết thì \(I\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD.\)
Suy ra:
\(\begin{gathered}
IA = IC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6(cm) \hfill \\
IB = ID = \frac{{BD}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\left( {cm} \right) \hfill \\
\end{gathered} \)
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông \(AIB\), ta có:
\( A{B^2} = I{A^2} + I{B^2} \)
\( \Rightarrow A{B^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \)
\( \Rightarrow AB = 10 (cm)\).
Xét \(∆IAB \) và \( ∆IAD\) có:
\(IA\) chung
\(IB=ID\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AIB} = \widehat {AID} = {90^o}\)
\( \Rightarrow ∆IAB = ∆IAD\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AB= AD\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \(∆IAD\) và \( ∆ICB\) có:
\(IA=IC\) (chứng minh trên)
\(ID=IB\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AID} = \widehat {CIB}=90^o\)
\( \Rightarrow ∆IAD = ∆ICB \) (c.g.c)
\( \Rightarrow AD= CB\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Xét \(∆ICB \) và \( ∆ICD\) có:
\(IC\) chung
\(IB=ID\) (chứng minh trên)
\(\widehat {CIB} = \widehat {CID} = {90^o}\)
\( \Rightarrow ∆ICB = ∆ICD\) (c.g.c)
\( \Rightarrow CB=CD \) (hai cạnh tương ứng) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AD = BC = CD = AB = 10\) (cm).