Bài 83 trang 19 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:

Câu a​

\( \displaystyle{2 \over {\sqrt 7 - 5}} - {2 \over {\sqrt 7 + 5}}\);
Phương pháp giải:
Áp dụng:
Với \(B \ge 0; B \ne C^2,\) ta có: \(\dfrac{A}{{\sqrt B \pm C}} = \dfrac{{A(\sqrt B \mp C)}}{{B - {C^2}}}\)
Lưu ý: Số hữu tỉ là số có dạng \(\dfrac{a}{b}\) trong đó \(a\); \(b\) là các số nguyên và \(b \ne 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{2}{{\sqrt 7 - 5}} - \dfrac{2}{{\sqrt 7 + 5}}\\
= \dfrac{{2(\sqrt 7 + 5) - 2(\sqrt 7 - 5)}}{{(\sqrt 7 + 5)\left( {\sqrt 7 - 5} \right)}}\\
= \dfrac{{2\sqrt 7 + 10 - 2\sqrt 7 + 10}}{{7 - 25}}\\
= \dfrac{{20}}{{ - 18}} = - \dfrac{{10}}{9}
\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{2}{{\sqrt 7 - 5}} - \dfrac{2}{{\sqrt 7 + 5}} = - \dfrac{{10}}{9}\) là số hữu tỉ

Câu b​

\( \displaystyle {{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 - 5}} + {{\sqrt 7 - 5} \over {\sqrt 7 + 5}}.\)
Phương pháp giải:
Áp dụng:
Với \(B,C \ge 0; B \ne C,\) ta có: \(\dfrac{A}{{\sqrt B \pm \sqrt C }} = \dfrac{{A(\sqrt B \mp \sqrt C )}}{{B - C}}\)
Lưu ý: Số hữu tỉ là số có dạng \(\dfrac{a}{b}\) trong đó \(a\); \(b\) là các số nguyên và \(b \ne 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} + \dfrac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }}\\
= \dfrac{{{{(\sqrt 7 + \sqrt 5 )}^2} + {{(\sqrt 7 - \sqrt 5 )}^2}}}{{(\sqrt 7 + \sqrt 5 )\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}\\
= \dfrac{{7 + 2\sqrt {35} + 5 + 7 - 2\sqrt {35} + 5}}{{7 - 5}}\\
= \dfrac{{24}}{2} = 12
\end{array}\)
Vậy \( \displaystyle {{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 - 5}} + {{\sqrt 7 - 5} \over {\sqrt 7 + 5}}=12\) là số hữu tỉ.