Bài 81 trang 18 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Rút gọn các biểu thức:

Câu a​

\( \displaystyle{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\( \displaystyle{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} \) \( \displaystyle= {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\)
\( \displaystyle = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a - 2\sqrt {ab} + b} \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{2(a + b)} \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \( a \ne b\))

Câu b​

\( \displaystyle{{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{\sqrt {a^3} - \sqrt {{b^3}} } \over {a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức:
\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \( \displaystyle{{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} -{{\sqrt {a^3} - \sqrt {{b^3}} } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle={{(a - b)(\sqrt a + \sqrt b)} \over {(\sqrt a - \sqrt b).(\sqrt a + \sqrt b) }} \)\( \displaystyle-{{\sqrt {a^2.a} - \sqrt {{b^2.b}} } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{(a - b)(\sqrt a + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a - b}}\)
\( \displaystyle = {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))
Chú ý: Ta cũng có thể biến đổi tiếp \( \displaystyle {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\) như sau:
\( \displaystyle {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\)\( \displaystyle = {{\sqrt {a^2b} - \sqrt {ab^2} } \over {(\sqrt a - \sqrt b).(\sqrt a + \sqrt b)}}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {ab} .( \sqrt {a}- \sqrt {b}) } \over {(\sqrt a - \sqrt b).(\sqrt a + \sqrt b)}}\)
\( \displaystyle = {{\sqrt {ab} } \over {\sqrt a + \sqrt b}}\)