Bài 82 trang 18 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi:

Câu a​

Chứng minh:
\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\)
\( \displaystyle\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr
& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu b​

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3 + 1\). Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
- Thực hiện tách biểu thức đưa về dạng:
\({(a + b)^2 +m} \)
- Biện luận tìm giá trị nhỏ nhất:
\({(a + b)^2} \ge 0\)
\(\Rightarrow {(a + b)^2} + m \ge m\). Dấu "=" xảy ra khi \(a+b=0\).
Lời giải chi tiết:
Theo câu a) ta có:
\( \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)
Vì \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) bằng \( \displaystyle{1 \over 4}\) khi \( \displaystyle{\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0\)
Suy ra \( \displaystyle x = - {{\sqrt 3 } \over 2}.\)