Câu hỏi: Cho hypebol . Một đường thẳng cắt tại và hai đường tiệm cận ở và . Chứng minh rằng
a)
b) Nếu có phương không đổi thì tích là hằng số.
a)
b) Nếu
Lời giải chi tiết
(h. 118).
A) Phương trình .
Phương trình chung của các đường tiệm cận là .
Gọi phương trình của là: .
Giả sử , khi đó, do vế trái của phương trình và phương trình các đường tiệm cận giống nhau nên:
- Hoành độ các giao điểm và của và là nghiệm của phương trình dạng:
.
- Hoành độ các giao điểm và của và các tiệm cận là nghiệm của phương trình dạng:
.
Gọi lần lượt là trung điểm của và thì ta có: . Suy ra trùng với . Vậy
Nếu thì là đường thẳng vuông góc với . Vì và hai đường tiệm cận đều nhận làm trục đối xứng nên dễ có
b) Gọi là vec tơ chỉ phương của và kí hiệu . Khi đó tồn tại các số sao cho .
Ta có tọa độ của và là
thuộc hai tiệm cận của nên là nghiệm của phương trình:
hay
Rõ ràng .
Do đó .
Vậy
không đổi.
(h. 118).
A) Phương trình
Phương trình chung của các đường tiệm cận
Gọi phương trình của
Giả sử
- Hoành độ các giao điểm
- Hoành độ các giao điểm
Gọi
Nếu
b) Gọi
Ta có tọa độ của
Rõ ràng
Do đó
Vậy