Google
Câu hỏi: Cho hypebol \((H): \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên \((H)\) đến hai đường tiệm cận bằng \(\dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).
Lời giải chi tiết
\((H)\) có hai tiệm cận là \({\Delta _1}: y = \dfrac{b}{a}x\) hay \(bx - ay = 0\); \({\Delta _2}: y = - \dfrac{b}{a}x\) hay \(bx + ay = 0\).
Xét \(M(x; y) \in (H)\) thì \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), hay \({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\). Khi đó
\(d(M ; {\Delta _1}). D(M ; {\Delta _2}) \)
\(= \dfrac{{|bx - ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}. \dfrac{{|bx + ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\(= \dfrac{{|{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2}|}}{{{a^2} + {b^2}}} \)
\(= \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).
\((H)\) có hai tiệm cận là \({\Delta _1}: y = \dfrac{b}{a}x\) hay \(bx - ay = 0\); \({\Delta _2}: y = - \dfrac{b}{a}x\) hay \(bx + ay = 0\).
Xét \(M(x; y) \in (H)\) thì \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), hay \({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\). Khi đó
\(d(M ; {\Delta _1}). D(M ; {\Delta _2}) \)
\(= \dfrac{{|bx - ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}. \dfrac{{|bx + ay|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\(= \dfrac{{|{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2}|}}{{{a^2} + {b^2}}} \)
\(= \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\).